Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
e) f(x, y)=x y e x^{2}+4 y^{2}=8 \quad f) f(x, y)=x^{2}+2 x y+y^{2} e x+2 y-1=0

Passo 1

O enunciado pede: estudar máximos e mínimos (ou seja, localizar os extremos relativos e/ou absolutos e seus valores) para duas funções sujeitas a restrições dadas. Informações fornecidas:
  • Item (e): função f(x,y)=x y com restrição \;x^{2}+4y^{2}=8.
  • Item (f): função f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2} com restrição \;x+2y-1=0.
Vou resolver cada item separadamente, encontrando pontos candidatos e determinando quais dão máximo, mínimo ou não existem extremos, e calculando os valores correspondentes.

Passo 2

Escolha do método para (e). Aqui a restrição \;x^{2}+4y^{2}=8 define uma curva fechada (uma elipse), e f é diferenciável. Um método direto e apropriado é multiplicador de Lagrange: igualar o gradiente de f a um múltiplo do gradiente da restrição. Vou explicar como isso funciona e aplicar.
Breve explicação do método de Lagrange (didática): se queremos extremos de f(x,y) sujeitos a g(x,y)=0, onde g é a restrição, os pontos candidatos satisfazem
\(\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)\)
para algum escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange), juntamente com a própria equação de restrição g(x,y)=0. Aqui \nabla f é o vetor das derivadas parciais (\partial f/\partial x,\partial f/\partial y). A ideia é que no ponto de tangência entre o nível de f e a curva g=0, as normais são paralelas, daí a relação com \lambda.

Passo 3

Aplicando Lagrange ao item (e).
Calculemos os gradientes:
\(\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) = (y,\;x)\).
A restrição pode ser escrita g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-8=0. Então
\(\nabla g(x,y) = (2x,\;8y)\).
A condição de Lagrange é
\((y,\;x) = \lambda(2x,\;8y)\).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} y = 2\lambda x,\\[4pt] x = 8\lambda y,\\[4pt] x^{2}+4y^{2}=8. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema (e). Primeiro suponha x\neq 0 e y\neq 0 e elimine \lambda.
Das duas primeiras equações obtemos expressões para \lambda:
\(\lambda = \dfrac{y}{2x}\) \quad e \quad \(\lambda = \dfrac{x}{8y}\).
Igualando-as:
\(\dfrac{y}{2x} = \dfrac{x}{8y}\).
Multiplicando em cruz:
\(8y^{2} = 2x^{2}\).
Dividindo por 2:
\(4y^{2} = x^{2}\).
Portanto
\(x = \pm 2y\).

Passo 5

Substituir x=\pm 2y na restrição \;x^{2}+4y^{2}=8.
Se x=2y:
\((2y)^{2}+4y^{2}=4y^{2}+4y^{2}=8y^{2}=8 \implies y^{2}=1 \implies y=\pm 1\).
Então os pontos são (x,y)=(2,1) e (x,y)=(-2,-1).
Se x=-2y:
\((-2y)^{2}+4y^{2}=4y^{2}+4y^{2}=8y^{2}=8 \implies y^{2}=1 \implies y=\pm 1\).
Então os pontos são (x,y)=(-2,1) e (x,y)=(2,-1).

Passo 6

Avaliar f(x,y)=xy nesses pontos:
  • Em (2,1): f(2,1)=2\cdot 1 = 2.
  • Em (-2,-1): f(-2,-1)=(-2)\cdot(-1)=2.
  • Em (-2,1): f(-2,1)=(-2)\cdot 1 = -2.
  • Em (2,-1): f(2,-1)=2\cdot(-1) = -2.

Passo 7

Verificar possíveis casos especiais x=0 ou y=0 (porque no passo de eliminar \lambda dividimos por x e por y):
  • Se x=0, da restrição 4y^{2}=8 vem y=\pm\sqrt{2}. Em ambos f(0,\pm\sqrt{2})=0.
  • Se y=0, da restrição x^{2}=8 vem x=\pm 2\sqrt{2}. Em ambos f(\pm 2\sqrt{2},0)=0.
Esses valores 0 ficam entre -2 e 2, portanto não mudam a classificação de mínimos e máximos encontrados.

Passo 8

Concluir para (e): a elipse é compacta, então os extremos encontrados são globais. Temos máximo f_{\max}=2 em (2,1) e (-2,-1). Temos mínimo f_{\min}=-2 em (-2,1) e (2,-1).
Parênteses motivador: conseguimos! A elipse fechada garante máximos e mínimos existem; os multiplicadores de Lagrange nos deram diretamente os pontos de tangência.

Passo 9

Agora o item (f). Antes de escolher método, olhe a função: podemos reescrever f de forma simples para facilitar:
Calcule
\;f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}.
A restrição é linear: \;x+2y-1=0, ou seja \;x=1-2y. Para problemas com uma restrição linear uma maneira direta é fazer substituição — é mais simples e levou a uma expressão univariada. Vou explicar passo a passo.

Passo 10

Substituição direta para (f). Substitua \;x=1-2y em f=(x+y)^{2}:
\;f(1-2y,y) = \bigl((1-2y)+y\bigr)^{2} = (1-y)^{2}.
Agora o problema reduz-se a estudar a função de uma variável h(y)=(1-y)^{2} sem restrições adicionais sobre y (pois a linha x+2y=1 é ilimitada em \mathbb{R}^{2}).

Passo 11

Analisar h(y)=(1-y)^{2}. Esta é uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola voltada para cima; propriedades importantes:
  • h(y)\ge 0 para todo y, pois é um quadrado.
  • h(y)=0 acontece quando 1-y=0, ou seja y=1. Nesse ponto h(1)=0 é o menor valor possível (mínimo global).
  • Quanto a máximo: como y\to\pm\infty temos h(y)\to\infty. Portanto não existe máximo global (a função cresce sem limite ao longo da restrição).

Passo 12

Determinar o ponto correspondente em (x,y). Para y=1, a restrição dá x=1-2\cdot 1 = -1. Logo o ponto onde o mínimo é atingido é (-1,1) e o valor mínimo é f(-1,1)=0. Não existe máximo global (a função sobre a reta cresce indefinidamente).

Passo 13

Resumo final (motivação curta): no item (e) a restrição é uma elipse (fechada e limitada), então há máximo e mínimo; Lagrange produziu quatro pontos candidatos com valores \pm 2. No item (f) a restrição é uma reta não limitada, reescrevemos f como (x+y)^{2} e reduzimos a um quadrado univariado, encontrando mínimo 0 e ausência de máximo.

Resposta

(e) Máximo f_{\max}=2 em (2,1) e (-2,-1).
(e) Mínimo f_{\min}=-2 em (-2,1) e (2,-1).
(f) Mínimo f_{\min}=0 em (-1,1).
(f) Não existe máximo (a função cresce sem limite ao longo da reta de restrição).

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