- Seja
um subconjunto fechado e limitado do
e seja
contínua. Prove que
é limitada em
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.\n
- Dado:
é um subconjunto de que é fechado e limitado.\n - Dado:
é contínua.\n - Pedido: provar que
é limitada em , isto é, provar que existe tal que para todo .\n
Passo 2
Vou usar uma prova por contradição baseada em sequências. Intuição do método (sem jargões pesados): se
não fosse limitada, eu poderia escolher pontos de
onde os valores de
ficam arbitrariamente grandes em módulo; como
é limitado, esses pontos formariam uma sequência em um conjunto limitado, e por um resultado clássico (Bolzano–Weierstrass) essa sequência teria uma subsequência convergente. Fechamento de
garante que o limite dessa subsequência pertence a
, e a continuidade de
força os valores de
nessa subsequência a convergirem para um número finito — o que contradiz o fato de os valores crescerem sem limite. Vou explicar com calma cada peça usada: o que é sequência convergente, o que significa fechado, o teorema de Bolzano–Weierstrass e a caracterização sequencial da continuidade.
Passo 3
Definições e fatos que vou usar (com explicação didática):\n
- O que significa
ser limitada em : existem tais que para todo . Se tal não existe dizemos que é não limitada (ou “unbounded”).\n - Fechado:
ser fechado significa que, sempre que uma sequência converge em para algum ponto , então esse ponto limite pertence a . Em palavras: contém todos os seus pontos-limite.\n - Bolzano–Weierstrass (versão usada): toda sequência limitada em
tem uma subsequência convergente (para algum ponto em ). Intuição: num conjunto limitado você não pode “escapar” para o infinito, então alguma subsequência deve se agrupar e convergir. Esse é um resultado standard para .\n - Continuidade (caracterização sequencial):
é contínua em se, para toda sequência que converge para , temos . Em metrizes (como e ) a definição epsilon–delta é equivalente a essa caracterização sequencial; usaremos a versão sequencial porque ela encaixa direto na ideia da prova por contradição com sequências.\n
Exemplo rápido para fixar a ideia: seé o disco de raio centrado na origem (que é fechado e limitado) e , então é contínua e, por ser contínua num conjunto fechado e limitado, os valores não podem explodir — de fato no disco. Nossa prova vai formalizar esse tipo de argumento em geral.
Passo 4
Suponha, por contradição, que
não seja limitada em
.\n
Isso significa que para cada existe um ponto
tal que
Isso significa que para cada
Explicação: se não existe
que limite
uniformemente, então para
existe
com
; para
existe
com
; e assim por diante, construindo a sequência
com
.
Passo 5
A sequência
está inteiramente em
e, como
é limitado, a sequência
é uma sequência limitada em
.\n
Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa sequência limitada existe uma subsequência que converge para algum ponto
. Ou seja,
Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa sequência limitada existe uma subsequência
Passo 6
Como
é fechado e cada
e
, a definição de fechado implica que
.\n
Assim encontramos um ponto no próprio conjunto
que é o limite de uma subsequência dos pontos onde
tinha valores enormes.
Assim encontramos um ponto
Passo 7
Agora usamos a continuidade de
em
. Pela caracterização sequencial da continuidade, como
e
é contínua em
, temos
Isto é, os valores
convergem para o número finito
.
Passo 8
Mas isso é impossível porque, por construção da sequência, para cada índice
temos
. Em particular, para os índices da subsequência obtemos
. Como
quando
, isso força
, ou seja,
diverge em módulo para infinito.\n
Portanto temos uma contradição: a mesma subsequência não pode ao mesmo tempo convergir para o número finito
e divergir para infinito.
Portanto temos uma contradição: a mesma subsequência
Passo 9
A contradição vem da hipótese de que
não é limitada. Logo essa hipótese é falsa, e concluímos que
é limitada em
.\n
Comentário final (útil para prova na prova): essa prova mostrou que uma função contínua em um conjunto fechado e limitado de é limitada. Um refinamento clássico (que pode interessar) é que, na verdade,
não só é limitada como atinge seu máximo e mínimo em
(teorema do valor extremo), mas a parte de atigir extremos exige um pequeno argumento extra; a parte de ser limitada foi o que pediram e acabamos de provar.
Comentário final (útil para prova na prova): essa prova mostrou que uma função contínua em um conjunto fechado e limitado de