1. Seja A um subconjunto fechado e limitado do \mathbb{R}^{2} e seja f: A \rightarrow \mathbb{R} contínua. Prove que f é limitada em A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.\n
  • Dado: A é um subconjunto de \mathbb{R}^{2} que é fechado e limitado.\n
  • Dado: f: A \to \mathbb{R} é contínua.\n
  • Pedido: provar que f é limitada em A, isto é, provar que existe M>0 tal que |f(x)| \le M para todo x\in A.\n

Passo 2

Vou usar uma prova por contradição baseada em sequências. Intuição do método (sem jargões pesados): se f não fosse limitada, eu poderia escolher pontos de A onde os valores de f ficam arbitrariamente grandes em módulo; como A é limitado, esses pontos formariam uma sequência em um conjunto limitado, e por um resultado clássico (Bolzano–Weierstrass) essa sequência teria uma subsequência convergente. Fechamento de A garante que o limite dessa subsequência pertence a A, e a continuidade de f força os valores de f nessa subsequência a convergirem para um número finito — o que contradiz o fato de os valores crescerem sem limite. Vou explicar com calma cada peça usada: o que é sequência convergente, o que significa fechado, o teorema de Bolzano–Weierstrass e a caracterização sequencial da continuidade.

Passo 3

Definições e fatos que vou usar (com explicação didática):\n
  • O que significa f ser limitada em A: existem M>0 tais que |f(x)|\le M para todo x\in A. Se tal M não existe dizemos que f é não limitada (ou “unbounded”).\n
  • Fechado: A ser fechado significa que, sempre que uma sequência (x_n)\subset A converge em \mathbb{R}^2 para algum ponto x, então esse ponto limite x pertence a A. Em palavras: A contém todos os seus pontos-limite.\n
  • Bolzano–Weierstrass (versão usada): toda sequência limitada em \mathbb{R}^2 tem uma subsequência convergente (para algum ponto em \mathbb{R}^2). Intuição: num conjunto limitado você não pode “escapar” para o infinito, então alguma subsequência deve se agrupar e convergir. Esse é um resultado standard para \mathbb{R}^n.\n
  • Continuidade (caracterização sequencial): f é contínua em x_0\in A se, para toda sequência (x_n)\subset A que converge para x_0, temos f(x_n)\to f(x_0). Em metrizes (como \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}) a definição epsilon–delta é equivalente a essa caracterização sequencial; usaremos a versão sequencial porque ela encaixa direto na ideia da prova por contradição com sequências.\n
    Exemplo rápido para fixar a ideia: se A é o disco de raio 1 centrado na origem (que é fechado e limitado) e f(x,y)=x+y, então f é contínua e, por ser contínua num conjunto fechado e limitado, os valores f não podem explodir — de fato |x+y|\le |x|+|y|\le 2 no disco. Nossa prova vai formalizar esse tipo de argumento em geral.

Passo 4

Suponha, por contradição, que f não seja limitada em A.\n
Isso significa que para cada n\in\mathbb{N} existe um ponto x_n\in A tal que
|f(x_n)|>n.
Explicação: se não existe M que limite |f(x)| uniformemente, então para M=1 existe x_1 com |f(x_1)|>1; para M=2 existe x_2 com |f(x_2)|>2; e assim por diante, construindo a sequência (x_n)\subset A com |f(x_n)|>n.

Passo 5

A sequência (x_n) está inteiramente em A e, como A é limitado, a sequência (x_n) é uma sequência limitada em \mathbb{R}^2.\n
Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa sequência limitada existe uma subsequência (x_{n_k}) que converge para algum ponto x_0\in\mathbb{R}^2. Ou seja,
x_{n_k}\to x_0\quad\text{quando }k\to\infty.

Passo 6

Como A é fechado e cada x_{n_k}\in A e x_{n_k}\to x_0, a definição de fechado implica que x_0\in A.\n
Assim encontramos um ponto x_0 no próprio conjunto A que é o limite de uma subsequência dos pontos onde f tinha valores enormes.

Passo 7

Agora usamos a continuidade de f em x_0. Pela caracterização sequencial da continuidade, como x_{n_k}\to x_0 e f é contínua em x_0, temos
f(x_{n_k}) \to f(x_0)\quad\text{quando }k\to\infty.
Isto é, os valores f(x_{n_k}) convergem para o número finito f(x_0).

Passo 8

Mas isso é impossível porque, por construção da sequência, para cada índice n temos |f(x_n)|>n. Em particular, para os índices da subsequência obtemos |f(x_{n_k})|>n_k. Como n_k\to\infty quando k\to\infty, isso força |f(x_{n_k})|\to\infty, ou seja, f(x_{n_k}) diverge em módulo para infinito.\n
Portanto temos uma contradição: a mesma subsequência f(x_{n_k}) não pode ao mesmo tempo convergir para o número finito f(x_0) e divergir para infinito.

Passo 9

A contradição vem da hipótese de que f não é limitada. Logo essa hipótese é falsa, e concluímos que f é limitada em A.\n
Comentário final (útil para prova na prova): essa prova mostrou que uma função contínua em um conjunto fechado e limitado de \mathbb{R}^2 é limitada. Um refinamento clássico (que pode interessar) é que, na verdade, f não só é limitada como atinge seu máximo e mínimo em A (teorema do valor extremo), mas a parte de atigir extremos exige um pequeno argumento extra; a parte de ser limitada foi o que pediram e acabamos de provar.

Resposta

f é limitada em A.

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