Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a) f(x, y)=3 x+y e x^{2}+2 y^{2}=1 \quad b) f(x, y)=3 x+y e x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, separadas em (a) e (b). Vou listar claramente o que cada item quer e quais informações temos.
Item (a): queremos estudar máximos e mínimos da função
f(x,y)=3x+y
sujeita à restrição
x^{2}+2y^{2}=1.
Ou seja: encontrar os pontos (x,y) sobre a curva dada pela equação acima para os quais f atinge valor máximo e valor mínimo, e também os valores máximos e mínimos de f.
Item (b): queremos estudar máximos e mínimos da mesma função
f(x,y)=3x+y
quando (x,y) satisfaz
x^{2}+2y^{2}\leqslant 1.
Ou seja: encontrar máximo e mínimo de f no interior mais fronteira da região elíptica fechada.
Informações importantes dadas:
\text{Função objetivo: } f(x,y)=3x+y.çã
\text{Restrição de (a): } x^{2}+2y^{2}=1.çã
\text{Restrição de (b): } x^{2}+2y^{2}\leq 1.çã

Passo 2

Vou resolver (a) primeiro. Método escolhido: multiplicadores de Lagrange. Antes de aplicar, uma explicação didática do método.
Explicação do método de Lagrange (mini-aula):
  • Suponha que queremos extremizar f(x,y) sujeita à condição g(x,y)=0.
  • Intuição geométrica: no ponto de máximo ou mínimo com a restrição, a superfície de nível de f (curva f= constante) é tangente à curva g=0. Quando são tangentes, os vetores normais são colineares.
  • O gradiente \nabla f é um vetor normal às curvas de nível de f. O gradiente \nabla g é normal à curva de restrição g=0.
  • Portanto, nos pontos extremos com restrição deve ocorrer \nabla f = \lambda\,\nabla gpara algum número real \lambda (o multiplicador de Lagrange). Esse \lambda ajusta a escala para que os vetores sejam colineares.
  • Em coordenadas: se f(x,y) e g(x,y) são diferenciáveis, então resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y), \qquad g(x,y)=0.
  • Aqui \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) e \nabla g=(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: tomamos
f(x,y)=3x+y, \qquad g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1.
Primeiro calculamos os gradientes:
Derivar f:
\frac{\partial f}{\partial x}=3, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1,
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\nabla f=(3,1).
Derivar g:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=4y,
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\nabla g=(2x,4y).
A condição de Lagrange é
(3,1)=\lambda(2x,4y).

Passo 4

Escrevendo as equações escalares da igualdade vetorial:
3=\lambda\cdot 2x,
1=\lambda\cdot 4y,
e ainda devemos ter a restrição
x^{2}+2y^{2}=1.
Das duas primeiras equações isolamos x e y em função de \lambda:
x=\frac{3}{2\lambda}, \qquad y=\frac{1}{4\lambda}.

Passo 5

Substituímos essas expressões na restrição x^{2}+2y^{2}=1. Substituição passo a passo:
Calcule x^{2}:
x^{2}=\left(\frac{3}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{9}{4\lambda^{2}}.
Calcule 2y^{2}:
2y^{2}=2\left(\frac{1}{4\lambda}\right)^{2}=2\cdot\frac{1}{16\lambda^{2}}=\frac{1}{8\lambda^{2}}.
Somando:
\frac{9}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{8\lambda^{2}}=1.

Passo 6

Colocamos em denominador comum e resolvemos para \lambda:
Somando os termos no lado esquerdo:
\frac{9}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{8\lambda^{2}}=\frac{18}{8\lambda^{2}}+\frac{1}{8\lambda^{2}}=\frac{19}{8\lambda^{2}}.
Então
\frac{19}{8\lambda^{2}}=1.
Isto implica
\lambda^{2}=\frac{19}{8}.
Portanto
\lambda=\pm\sqrt{\frac{19}{8}}.

Passo 7

Agora encontramos os pontos (x,y) correspondentes a cada \lambda.
Para \lambda=\sqrt{\frac{19}{8}}:
x=\frac{3}{2\lambda}=\frac{3}{2\sqrt{19/8}}.
Para simplificar essa expressão, escrevemos
x=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{8}{19}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}=\frac{3\sqrt{38}}{19}.
Explicação do passo de simplificação:
\sqrt{\frac{8}{19}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{19}},
multiplicando por \tfrac{3}{2} resulta em \tfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{19}}. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{19} obtemos \tfrac{3\sqrt{38}}{19}.
Para y quando \lambda=\sqrt{\frac{19}{8}}:
y=\frac{1}{4\lambda}=\frac{1}{4\sqrt{19/8}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{8}{19}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{38}}{38}.
Verificação rápida numérica: \sqrt{38}\approx 6{,}1644, então x\approx 0{,}9733 e y\approx 0{,}1622, que satisfazem a elipse.
Para \lambda=-\sqrt{\frac{19}{8}} obtemos os pontos simetricamente opostos:
x=-\frac{3\sqrt{38}}{19}, \qquad y=-\frac{\sqrt{38}}{38}.

Passo 8

Agora calculamos os valores de f nesses pontos. Lembrando f(x,y)=3x+y.
Para o ponto com \lambda=\sqrt{\frac{19}{8}}, em vez de substituir os números complicados, podemos usar uma simplificação elegante: lembrando que x=\dfrac{3}{2\lambda} e y=\dfrac{1}{4\lambda}, temos
f=3x+y=3\cdot\frac{3}{2\lambda}+\frac{1}{4\lambda}=\frac{9}{2\lambda}+\frac{1}{4\lambda}=\frac{19}{4\lambda}.
Substituindo \lambda=\sqrt{\dfrac{19}{8}}:
f=\frac{19}{4\sqrt{19/8}}=\frac{19}{4}\sqrt{\frac{8}{19}}.
Simplificando:
f=\frac{19}{4}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{19}}=\frac{19\sqrt{2}}{2\sqrt{19}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{19} e cancelando 19 obtém-se a forma simples
f=\frac{\sqrt{38}}{2}.
Isso é o valor máximo candidato.
Para \lambda=-\sqrt{\dfrac{19}{8}} obtemos o valor simétrico:
f=-\frac{\sqrt{38}}{2}.

Passo 9

Devemos agora checar que esses pontos realmente correspondem a máximo e mínimo (não a pontos de sela com restrição). Em problemas com restrição fechada do tipo elipse, o método de Lagrange fornece todos os candidatos; normalmente obtemos dois pontos extremos opostos quando a função objetivo é linear e a restrição é uma elipse centrada na origem. O ponto com f=\dfrac{\sqrt{38}}{2} é o máximo e o outro com f=-\dfrac{\sqrt{38}}{2} é o mínimo (podemos ver também que f é linear, cresce na direção do vetor (3,1), então o máximo na elipse ocorre na direção da interseção da elipse com a reta paralela a (3,1) que a toca — o cálculo confirma isso).
Então, para o item (a) temos:
  • Máximo em \left(\dfrac{3\sqrt{38}}{19},\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right) com valor \dfrac{\sqrt{38}}{2}.
  • Mínimo em \left(-\dfrac{3\sqrt{38}}{19},-\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right) com valor -\dfrac{\sqrt{38}}{2}.

Passo 10

Agora resolvemos (b): caso da região com x^{2}+2y^{2}\leq 1.
Raciocínio didático:
  • A região x^{2}+2y^{2}\leq 1 é uma região fechada e limitada (uma elipse com interior). Pela teoria (teorema do valor extremo num conjunto compacto), uma função contínua atinge máximo e mínimo nessa região.
  • Possibilidades para onde o extremo ocorre: ou num ponto interior (onde a restrição não é ativa) ou na fronteira (onde x^{2}+2y^{2}=1).
  • Se houver um extremo no interior, deve ser um ponto crítico de f (ou seja, \nabla f=0). Mas \nabla f=(3,1) é constante e não é o vetor zero, então não há pontos críticos no interior.
  • Portanto todo máximo e mínimo devem ocorrer na fronteira x^{2}+2y^{2}=1, e esse é exatamente o problema resolvido em (a).
Conclusão: os extremos em (b) coincidem com os de (a).

Resposta

(a) Máximo: ponto \left(\dfrac{3\sqrt{38}}{19},\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right) com valor \dfrac{\sqrt{38}}{2}.\n(a) Mínimo: ponto \left(-\dfrac{3\sqrt{38}}{19},-\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right) com valor -\dfrac{\sqrt{38}}{2}.\n(b) Máximo: mesmo que em (a), \left(\dfrac{3\sqrt{38}}{19},\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right), valor \dfrac{\sqrt{38}}{2}.\n(b) Mínimo: mesmo que em (a), \left(-\dfrac{3\sqrt{38}}{19},-\dfrac{\sqrt{38}}{38}\right), valor -\dfrac{\sqrt{38}}{2}.

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