Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.
a)
e
b)
e
a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, separadas em (a) e (b). Vou listar claramente o que cada item quer e quais informações temos.
Item (a): queremos estudar máximos e mínimos da função
sujeita à restrição
Ou seja: encontrar os pontos
sobre a curva dada pela equação acima para os quais
atinge valor máximo e valor mínimo, e também os valores máximos e mínimos de
.
Item (b): queremos estudar máximos e mínimos da mesma função
quando
satisfaz
Ou seja: encontrar máximo e mínimo de
no interior mais fronteira da região elíptica fechada.
Informações importantes dadas:
Passo 2
Vou resolver (a) primeiro. Método escolhido: multiplicadores de Lagrange. Antes de aplicar, uma explicação didática do método.
Explicação do método de Lagrange (mini-aula):
- Suponha que queremos extremizar
sujeita à condição . - Intuição geométrica: no ponto de máximo ou mínimo com a restrição, a superfície de nível de
(curva constante) é tangente à curva . Quando são tangentes, os vetores normais são colineares. - O gradiente
é um vetor normal às curvas de nível de . O gradiente é normal à curva de restrição . - Portanto, nos pontos extremos com restrição deve ocorrer
para algum número real (o multiplicador de Lagrange). Esse ajusta a escala para que os vetores sejam colineares. - Em coordenadas: se
e são diferenciáveis, então resolvemos o sistema - Aqui
e .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: tomamos
Primeiro calculamos os gradientes:
Derivar
:
logo
Derivar
:
logo
A condição de Lagrange é
Passo 4
Escrevendo as equações escalares da igualdade vetorial:
e ainda devemos ter a restrição
Das duas primeiras equações isolamos
e
em função de
:
Passo 5
Substituímos essas expressões na restrição
. Substituição passo a passo:
Calcule
:
Calcule
:
Somando:
Passo 6
Colocamos em denominador comum e resolvemos para
:
Somando os termos no lado esquerdo:
Então
Isto implica
Portanto
Passo 7
Agora encontramos os pontos
correspondentes a cada
.
Para
:
Para simplificar essa expressão, escrevemos
Explicação do passo de simplificação:
multiplicando por
resulta em
. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
.
Para
quando
:
Verificação rápida numérica:
, então
e
, que satisfazem a elipse.
Para
obtemos os pontos simetricamente opostos:
Passo 8
Agora calculamos os valores de
nesses pontos. Lembrando
.
Para o ponto com
, em vez de substituir os números complicados, podemos usar uma simplificação elegante: lembrando que
e
, temos
Substituindo
:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
e cancelando
obtém-se a forma simples
Isso é o valor máximo candidato.
Para
obtemos o valor simétrico:
Passo 9
Devemos agora checar que esses pontos realmente correspondem a máximo e mínimo (não a pontos de sela com restrição). Em problemas com restrição fechada do tipo elipse, o método de Lagrange fornece todos os candidatos; normalmente obtemos dois pontos extremos opostos quando a função objetivo é linear e a restrição é uma elipse centrada na origem. O ponto com
é o máximo e o outro com
é o mínimo (podemos ver também que
é linear, cresce na direção do vetor
, então o máximo na elipse ocorre na direção da interseção da elipse com a reta paralela a
que a toca — o cálculo confirma isso).
Então, para o item (a) temos:
- Máximo em
com valor . - Mínimo em
com valor .
Passo 10
Agora resolvemos (b): caso da região com
.
Raciocínio didático:
- A região
é uma região fechada e limitada (uma elipse com interior). Pela teoria (teorema do valor extremo num conjunto compacto), uma função contínua atinge máximo e mínimo nessa região. - Possibilidades para onde o extremo ocorre: ou num ponto interior (onde a restrição não é ativa) ou na fronteira (onde
). - Se houver um extremo no interior, deve ser um ponto crítico de
(ou seja, ). Mas é constante e não é o vetor zero, então não há pontos críticos no interior. - Portanto todo máximo e mínimo devem ocorrer na fronteira
, e esse é exatamente o problema resolvido em (a).
Conclusão: os extremos em (b) coincidem com os de (a).
Resposta
(a) Máximo: ponto
com valor
.\n(a) Mínimo: ponto
com valor
.\n(b) Máximo: mesmo que em (a),
, valor
.\n(b) Mínimo: mesmo que em (a),
, valor
.