Um reservatório de 4.5 \mathrm{~m} \times 8.5 \mathrm{~m} \times 6.5 \mathrm{~m} está cheio de gás nitrogênio \left(\mathrm{N}_{2}\right), a temperatura de 292 K e a pressão de 1.2 \times 10^{4} \mathrm{~Pa}. Considere o gás ideal e determine:
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática?
Se a temperatura aumenta em 36 K , determine:
(d) Qual a variação de energia interna do gás?
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
Para refletir (escreva sobre estes pontos na sua folha de resolução):
O que pode ter ocasionado o aumento de temperatura do gás?
Em uma análise microscópica, o que significa uma variação de energia interna de um gás ideal?
O que a variação de entropia nos diz sobre o processo termodinâmico ocorrido com este gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirei os números diretamente do enunciado):
  • Dimensões do reservatório: 4{,}5\\ \mathrm{m}\times 8{,}5\\ \mathrm{m}\times 6{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Pressão inicial: P=1{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: T_{1}=292\\ \mathrm{K}.
  • Gás: nitrogênio \mathrm{N}_{2} (gás ideal).
  • Aumento de temperatura dado: \Delta T=36\\ \mathrm{K} (portanto T_{2}=T_{1}+\Delta T=328\\ \mathrm{K}).
O que o enunciado pede:
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática (velocidade RMS)?
(d) Se a temperatura aumenta em 36\\ \mathrm{K}, qual é a variação de energia interna do gás?
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
Constantes que usarei (explico quando aplicar):
  • Constante dos gases ideais: R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Massa molar do \mathrm{N}_{2}: M_{\mathrm{N_{2}}}=28{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}=0{,}02801\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}.

Passo 2

Calcular o volume do reservatório (produto das três dimensões). Isso é necessário para usar a equação dos gases ideais.
V = 4{,}5\times 8{,}5\times 6{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
Faço a conta passo a passo:
4{,}5\times 8{,}5 = 38{,}25,
38{,}25\times 6{,}5 = 248{,}625.
Logo
V = 248{,}625\\ \mathrm{m^{3}}.
(Arredondarei mantendo algarismos significativos adequados quando necessário.)

Passo 3

(a) Calcular o número de mols usando a equação dos gases ideais. Explicação breve: a equação é \,P V = n R T\,. Aqui:
  • P é a pressão absoluta (em Pa),
  • V é o volume (m³),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta (K).
Isolando n:
n = \frac{P V}{R T}.
Substituindo os valores (vou mostrar os passos numéricos):
P V = \left(1{,}2\times10^{4}\right)\times 248{,}625 = 2\,983\,500\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}} = 2{,}983{,}500\\ \mathrm{J}.
R T = 8{,}314\times 292 = 2{,}427{,}8\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Portanto
n = \frac{2{,}983{,}500}{2{,}427{,}8}\approx 1{,}229\\ \mathrm{mol}.
Interpretação amigável: o número de mols é cerca de 1{,}23\times10^{3} mol. (Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 4

(b) Calcular a massa total do gás. Explicação: a massa m é o número de mols vezes a massa molar:
m = n M_{\mathrm{N_{2}}}.
Usando M_{\mathrm{N_{2}}}=0{,}02801\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}} e n\approx 1{,}229\\ \mathrm{mol},
m = 1{,}229\times 0{,}02801 \approx 34{,}4\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: há cerca de 34{,}4\\ \mathrm{kg} de nitrogênio no reservatório.

Passo 5

(c) Velocidade média quadrática (velocidade RMS). Conceito e fórmula: para um gás ideal monoatômico ou molecular, a velocidade RMS é medida pela energia cinética média por partícula. A relação macroscópica é
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},
onde
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura absoluta,
  • M é a massa molar em \mathrm{kg\\ mol^{-1}},
  • o fator 3 vem das três direções de movimento (três graus de liberdade translacionais).
Substituo T=T_{1}=292\\ \mathrm{K} e M=0{,}02801\\ \mathrm{kg\\ mol^{-1}}:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\times 8{,}314 \times 292}{0{,}02801}}.
Calculo interno:
3\times 8{,}314 \times 292 \approx 7{,}283{,}0,
\frac{7{,}283{,}0}{0{,}02801} \approx 260{,}000\quad(\text{aprox.}),
v_{\mathrm{rms}} \approx \sqrt{260{,}000}\approx 510\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade média quadrática das moléculas de \mathrm{N_{2}} a 292\\ \mathrm{K} é aproximadamente 5{,}10\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

(d) Variação de energia interna quando a temperatura aumenta em \Delta T=36\\ \mathrm{K}. Teoria e escolha de C_{v}: para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. A variação é
\Delta U = n C_{v}\,\Delta T,
onde C_{v} é a capacidade calorífica molar a volume constante. Para o nitrogênio (molécula diatômica) em temperatura ambiente as rotações estão ativadas e as vibrações desprezíveis, portanto o número de graus de liberdade efetivos é f=5 (3 traduzir + 2 rotacionais). Assim
C_{v} = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R = 2{,}5\,R.
Logo
\Delta U = n\left(\frac{5}{2}R\right)\Delta T.
Substituindo números:
\frac{5}{2}R = 2{,}5\times 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
\Delta U = 1{,}229\times 20{,}785 \times 36 \approx 9{,}20\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia interna aumenta em torno de 9{,}2\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Observação física curta: como o volume é fixo (reservatório rígido), não há trabalho de pressão-volume, então toda energia térmica fornecida aumenta a energia interna.

Passo 7

(e) Variação de entropia e reversibilidade. Fórmula e justificação: para um gás ideal com C_{v} praticamente constante entre T_{1} e T_{2}, e em processo a volume constante, a variação de entropia do sistema é
\Delta S = n C_{v} \ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
Aqui T_{1}=292\\ \mathrm{K}, T_{2}=328\\ \mathrm{K}, C_{v}=2{,}5R. Substituo:
\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) = \ln\!\left(\frac{328}{292}\right) \approx \ln(1{,}1233)\approx 0{,}1165.
\Delta S = 1{,}229 \times 20{,}785 \times 0{,}1165 \approx 2{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação: a entropia do gás aumentou em aproximadamente 2{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}.
Reversível ou irreversível? Explicação didática:
  • A variação de entropia do sistema é sempre dada por \Delta S_{\text{sys}} = \int \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} para um caminho reversível. Nós usamos a expressão de nC_{v}\ln(T_{2}/T_{1}) que corresponde ao cálculo da entropia do gás independente do caminho quando C_{v} é constante; esse valor é o incremento de entropia do sistema entre os dois estados.
  • Se a temperatura foi aumentada por contato com uma fonte térmica a uma temperatura infinitesimalmente maior (processo quase quasi-estático), o processo de aquecimento poderia ser feito reversivelmente e a entropia do universo não aumentaria além do balanço clássico. Na prática, aquecimento por contato com uma fonte a temperatura finita maior implica fluxo de calor com diferença de temperatura e isso gera produção de entropia no ambiente — tornando o processo irreversível.
    Conclusão direta (prática): como o enunciado só diz “a temperatura aumenta em 36\\ \mathrm{K}” sem especificar que o aquecimento foi infinitesimalmente lento e reversível, o caso mais realista é que houve transferência de calor com diferença de temperatura finita e o processo foi irreversível. A entropia do sistema aumentou (valor positivo calculado) e a entropia total do universo teria aumentado ainda mais se o aquecimento foi irreversível.

Passo 8

Reflexões microscópicas e possíveis causas (curtas, para anotar na sua folha):
  • O que pode ter ocasionado o aumento de temperatura do gás?
    • Transferência de calor externa (contato com superfície mais quente ou aquecimento por resistência), reações químicas exotérmicas dentro do reservatório, compressão (mas aqui o volume é fixo, então compressão não se aplica), ou energia dissipada por correntes de ar/atrito interno. No enunciado, como o volume está fixo, o mais provável é aporte de calor externo.
  • Em uma análise microscópica, o que significa uma variação de energia interna de um gás ideal?
    • Para um gás ideal sem interações potenciais entre moléculas, a energia interna é a soma das energias cinéticas dos graus de liberdade das moléculas (translação e rotações, e vibrações se excitadas). Um aumento de energia interna corresponde a aumento da energia cinética média das moléculas — isto é, as moléculas movem-se mais rápido (aumenta v_{\mathrm{rms}}).
  • O que a variação de entropia nos diz sobre o processo termodinâmico ocorrido com este gás?
    • A entropia mede, em termos microscópicos, o número de microestados acessíveis ao sistema. Um \Delta S>0 indica que o sistema passou a ter mais microestados acessíveis (mais desordem térmica). Se o processo foi feito irreversivelmente (ex.: calor adicionado com diferença de temperatura finita), então além do aumento da entropia do sistema há produção de entropia no ambiente, e a entropia total do universo aumenta — sinal claro de irreversibilidade.

Resposta

(a) n \approx 1{,}23\times 10^{3}\\ \mathrm{mol}
(b) m \approx 34{,}4\\ \mathrm{kg}
(c) v_{\mathrm{rms}} \approx 5{,}10\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s}
(d) \Delta U \approx 9{,}20\times 10^{5}\\ \mathrm{J}
(e) \Delta S \approx 2{,}98\times 10^{3}\\ \mathrm{J/K}. Processo na prática: irreversível (a menos que o aquecimento tenha sido realizado de modo perfeitamente reversível).

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