Um reservatório de
está cheio de gás nitrogênio
, a temperatura de 292 K e a pressão de
. Considere o gás ideal e determine:
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática?
Se a temperatura aumenta em 36 K , determine:
(d) Qual a variação de energia interna do gás?
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
Para refletir (escreva sobre estes pontos na sua folha de resolução):
O que pode ter ocasionado o aumento de temperatura do gás?
Em uma análise microscópica, o que significa uma variação de energia interna de um gás ideal?
O que a variação de entropia nos diz sobre o processo termodinâmico ocorrido com este gás?
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática?
(d) Qual a variação de energia interna do gás?
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
O que pode ter ocasionado o aumento de temperatura do gás?
Em uma análise microscópica, o que significa uma variação de energia interna de um gás ideal?
O que a variação de entropia nos diz sobre o processo termodinâmico ocorrido com este gás?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirei os números diretamente do enunciado):
- Dimensões do reservatório:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Gás: nitrogênio
(gás ideal). - Aumento de temperatura dado:
(portanto ).
O que o enunciado pede:
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática (velocidade RMS)?
(d) Se a temperatura aumenta em , qual é a variação de energia interna do gás?
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
(a) Quantos mols de gás há no reservatório?
(b) Qual a massa de gás no reservatório?
(c) Qual é a velocidade média quadrática (velocidade RMS)?
(d) Se a temperatura aumenta em
(e) Qual é a variação da entropia do gás? O processo é reversível ou irreversível?
Constantes que usarei (explico quando aplicar):
- Constante dos gases ideais:
. - Massa molar do
: .
Passo 2
Calcular o volume do reservatório (produto das três dimensões). Isso é necessário para usar a equação dos gases ideais.
Faço a conta passo a passo:
Logo
(Arredondarei mantendo algarismos significativos adequados quando necessário.)
Passo 3
(a) Calcular o número de mols usando a equação dos gases ideais. Explicação breve: a equação é
. Aqui:
-
é a pressão absoluta (em Pa), -
é o volume (m³), -
é o número de mols, -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura absoluta (K).
Isolando
:
Substituindo os valores (vou mostrar os passos numéricos):
Portanto
Interpretação amigável: o número de mols é cerca de
mol. (Arredondei para três algarismos significativos.)
Passo 4
(b) Calcular a massa total do gás. Explicação: a massa
é o número de mols vezes a massa molar:
Usando
e
,
Interpretação: há cerca de
de nitrogênio no reservatório.
Passo 5
(c) Velocidade média quadrática (velocidade RMS). Conceito e fórmula: para um gás ideal monoatômico ou molecular, a velocidade RMS é medida pela energia cinética média por partícula. A relação macroscópica é
onde
-
é a constante dos gases, -
é a temperatura absoluta, -
é a massa molar em , - o fator
vem das três direções de movimento (três graus de liberdade translacionais).
Substituo
e
:
Calculo interno:
Portanto a velocidade média quadrática das moléculas de
a
é aproximadamente
.
Passo 6
(d) Variação de energia interna quando a temperatura aumenta em
. Teoria e escolha de
: para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. A variação é
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante. Para o nitrogênio (molécula diatômica) em temperatura ambiente as rotações estão ativadas e as vibrações desprezíveis, portanto o número de graus de liberdade efetivos é
(3 traduzir + 2 rotacionais). Assim
Logo
Substituindo números:
Interpretação: a energia interna aumenta em torno de
.
Observação física curta: como o volume é fixo (reservatório rígido), não há trabalho de pressão-volume, então toda energia térmica fornecida aumenta a energia interna.
Passo 7
(e) Variação de entropia e reversibilidade. Fórmula e justificação: para um gás ideal com
praticamente constante entre
e
, e em processo a volume constante, a variação de entropia do sistema é
Aqui
,
,
. Substituo:
Interpretação: a entropia do gás aumentou em aproximadamente
.
Reversível ou irreversível? Explicação didática:
- A variação de entropia do sistema é sempre dada por
para um caminho reversível. Nós usamos a expressão de que corresponde ao cálculo da entropia do gás independente do caminho quando é constante; esse valor é o incremento de entropia do sistema entre os dois estados. - Se a temperatura foi aumentada por contato com uma fonte térmica a uma temperatura infinitesimalmente maior (processo quase quasi-estático), o processo de aquecimento poderia ser feito reversivelmente e a entropia do universo não aumentaria além do balanço clássico. Na prática, aquecimento por contato com uma fonte a temperatura finita maior implica fluxo de calor com diferença de temperatura e isso gera produção de entropia no ambiente — tornando o processo irreversível.
Conclusão direta (prática): como o enunciado só diz “a temperatura aumenta em” sem especificar que o aquecimento foi infinitesimalmente lento e reversível, o caso mais realista é que houve transferência de calor com diferença de temperatura finita e o processo foi irreversível. A entropia do sistema aumentou (valor positivo calculado) e a entropia total do universo teria aumentado ainda mais se o aquecimento foi irreversível.
Passo 8
Reflexões microscópicas e possíveis causas (curtas, para anotar na sua folha):
- O que pode ter ocasionado o aumento de temperatura do gás?
- Transferência de calor externa (contato com superfície mais quente ou aquecimento por resistência), reações químicas exotérmicas dentro do reservatório, compressão (mas aqui o volume é fixo, então compressão não se aplica), ou energia dissipada por correntes de ar/atrito interno. No enunciado, como o volume está fixo, o mais provável é aporte de calor externo.
- Em uma análise microscópica, o que significa uma variação de energia interna de um gás ideal?
- Para um gás ideal sem interações potenciais entre moléculas, a energia interna é a soma das energias cinéticas dos graus de liberdade das moléculas (translação e rotações, e vibrações se excitadas). Um aumento de energia interna corresponde a aumento da energia cinética média das moléculas — isto é, as moléculas movem-se mais rápido (aumenta
).
- Para um gás ideal sem interações potenciais entre moléculas, a energia interna é a soma das energias cinéticas dos graus de liberdade das moléculas (translação e rotações, e vibrações se excitadas). Um aumento de energia interna corresponde a aumento da energia cinética média das moléculas — isto é, as moléculas movem-se mais rápido (aumenta
- O que a variação de entropia nos diz sobre o processo termodinâmico ocorrido com este gás?
- A entropia mede, em termos microscópicos, o número de microestados acessíveis ao sistema. Um
indica que o sistema passou a ter mais microestados acessíveis (mais desordem térmica). Se o processo foi feito irreversivelmente (ex.: calor adicionado com diferença de temperatura finita), então além do aumento da entropia do sistema há produção de entropia no ambiente, e a entropia total do universo aumenta — sinal claro de irreversibilidade.
- A entropia mede, em termos microscópicos, o número de microestados acessíveis ao sistema. Um
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) . Processo na prática: irreversível (a menos que o aquecimento tenha sido realizado de modo perfeitamente reversível).
(b)
(c)
(d)
(e)