Estude com relação a máximos e mínimos a função com as suas restrições.
f(x, y) = 3x + y e x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar os máximos e mínimos da função com a restrição . Isso envolve estudar como a função se comporta dentro de um círculo de raio 1 e usar conceitos de cálculo para identificar esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação representa uma circunferência de raio 1 no plano xy. Nosso objetivo é descobrir quais valores de e dentro dessa circunferência fazem a função alcançar seus valores máximos e mínimos.

Passo 3

Uma maneira eficiente de resolver isso é parametrizando as coordenadas e usando um ângulo . Isso significa que podemos escrever:
Dessa forma, garantimos que a restrição seja sempre satisfeita, já que .

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na função :
Assim, transformamos nosso problema em encontrar os máximos e mínimos da função em termos de .

Passo 5

Para encontrar onde atinge seus valores extremos, derivamos em relação a e igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá uma equação que podemos resolver para encontrar os pontos críticos.

Passo 6

Resolvendo a equação acima:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
Isso nos dá o valor de onde a função pode alcançar um máximo ou mínimo.

Passo 7

Encontramos que:
Esse é o ângulo onde a função pode ter um valor extremo.

Passo 8

Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, podemos observar que a função é uma combinação linear de funções seno e cosseno, então seus valores máximo e mínimo serão simétricos em relação à origem.

Passo 9

Calculando o valor da função nesse ponto:
á
Usando identidades trigonométricas, isso simplifica para:
á

Passo 10

Como a função é simétrica, o valor mínimo será o negativo do máximo:
í

Resposta

Os máximos e mínimos da função sujeitos à restrição são e , respectivamente.

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