Estude com relação a máximos e mínimos a função com as suas restrições.
e
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos encontrar os máximos e mínimos da função
com a restrição
. Isso envolve estudar como a função se comporta dentro de um círculo de raio 1 e usar conceitos de cálculo para identificar esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação
representa uma circunferência de raio 1 no plano xy. Nosso objetivo é descobrir quais valores de
e
dentro dessa circunferência fazem a função
alcançar seus valores máximos e mínimos.
Passo 3
Uma maneira eficiente de resolver isso é parametrizando as coordenadas
e
usando um ângulo
. Isso significa que podemos escrever:
Dessa forma, garantimos que a restrição
seja sempre satisfeita, já que
.
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na função
:
Assim, transformamos nosso problema em encontrar os máximos e mínimos da função
em termos de
.
Passo 5
Para encontrar onde
atinge seus valores extremos, derivamos em relação a
e igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá uma equação que podemos resolver para encontrar os pontos críticos.
Passo 6
Resolvendo a equação acima:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Isso nos dá o valor de
onde a função pode alcançar um máximo ou mínimo.
Passo 7
Encontramos que:
Esse é o ângulo onde a função
pode ter um valor extremo.
Passo 8
Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, podemos observar que a função
é uma combinação linear de funções seno e cosseno, então seus valores máximo e mínimo serão simétricos em relação à origem.
Passo 9
Calculando o valor da função
nesse ponto:
Usando identidades trigonométricas, isso simplifica para:
Passo 10
Como a função é simétrica, o valor mínimo será o negativo do máximo:
Resposta
Os máximos e mínimos da função
sujeitos à restrição
são
e
, respectivamente.