Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
z * e^(x-y) + z^3 = 2 em (2,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . A ideia é calcular o gradiente da função no ponto dado, que nos dará a direção normal à superfície.
Vamos chamar nossa função de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Com essas derivadas, o vetor gradiente no ponto é:
Esse vetor é normal à superfície no ponto dado, ou seja, ele é perpendicular ao plano tangente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar a equação da reta normal, usamos a forma paramétrica:
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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