Estude com relação a máximos e mínimos locais a função
f(x, y)=x^3+2 x y+y^2-5 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar máximos e mínimos locais da função
f(x,y)=x^3+2xy+y^2-5x
O conteúdo usado será:
– Cálculo de pontos críticos via derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
– Classificação desses pontos críticos usando o Hessiano, isto é, fxx, fyy e fxy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=3x^2+2y-5, partial fpartial y=2x+2y
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
3x^2+2y-5=0, 2x+2y=0
Da segunda equação vem y=-x. Substituindo na primeira:
3x^2+2(-x)-5=0 ;Longrightarrow; 3x^2-2x-5=0
As raízes são
x=2pmraiz4+606 =2pm86,
logo x=5/3 ou x=-1. Assim os pontos críticos são
l(5/3,,-5/3r) e (-1,,1)

Passo 3

Formamos o Hessiano H cujos componentes são
fxx=6x, fxy=2, fyy=2
O determinante do Hessiano é
D(x,y)=fxx,fyy-l(fxyr)^2 =6xcdot2-2^2=12x-4

Passo 4

Avaliamos fxx e D em cada ponto:
1. Em l(5/3,-5/3r):
fxx=6cdot53=10>0, D=12cdot53-4=20-4=16>0
Como D>0 e fxx>0, trata-se de um mínimo local.
2. Em (-1,1):
fxx=6cdot(-1)=-6<0, D=12cdot(-1)-4=-12-4=-16<0
Como D<0, esse ponto é de sela (saddle point), não há nem mínimo nem máximo local ali.

Resposta

O único mínimo local ocorre em l(5/3,,-5/3r).
Em (-1,,1) temos ponto de sela.
Não existem máximos locais.

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