Dado um número complexo
, para um certo
seja
. Obtenha uma expressão para
e para
. Use que
e obtenha uma expressão para
sem usar reticências.
Use esta ideia para calcular:
Use esta ideia para calcular:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a soma finita w = 1 + z + z^{2} + \cdots + z^{k} de uma PG de razão z. Precisamos deduzir uma expressão fechada para w sem reticências e aplicar para calcular a soma S = 1 - (1 - i) + (1 - i)^{2} - (1 - i)^{3} + (1 - i)^{4} - (1 - i)^{5}. O conteúdo é soma de progressão geométrica e operações com números complexos, e vamos precisar usar a relação entre w, z,w e w - z,w.
Passo 2
Primeiro, escrevemos z,w e subtraímos de w para eliminar as reticências. Temos z,w = z + z^{2} + \cdots + z^{k+1}. Assim,
Passo 3
Usando w - z,w = w(1 - z), obtemos a expressão fechada de w:
Passo 4
Logo, se z \neq 1,
Passo 5
Para a soma solicitada definimos q = -(1 - i). Então a soma S é
Passo 6
Aplicando a fórmula de soma de PG com k = 5,
Passo 7
Calculamos q^{6}. Como q = -(1 - i) tem módulo \sqrt{2} e argumento 3\pi/4, temos
Passo 8
Além disso,
Passo 9
Substituindo em S:
Passo 10
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 2 + i:
Resposta
2 - 3i