Dado um número complexo z in C, para um certo k in N seja w=1+z+z^2+cdots+z^k. Obtenha uma expressão para z w e para w-z w. Use que w-z w=w(1-z) e obtenha uma expressão para w sem usar reticências.
Use esta ideia para calcular:
1-(1-i)+(1-i)^2-(1-i)^3+(1-i)^4-(1-i)^5

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a soma finita w = 1 + z + z^{2} + \cdots + z^{k} de uma PG de razão z. Precisamos deduzir uma expressão fechada para w sem reticências e aplicar para calcular a soma S = 1 - (1 - i) + (1 - i)^{2} - (1 - i)^{3} + (1 - i)^{4} - (1 - i)^{5}. O conteúdo é soma de progressão geométrica e operações com números complexos, e vamos precisar usar a relação entre w, z,w e w - z,w.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z,w e subtraímos de w para eliminar as reticências. Temos z,w = z + z^{2} + \cdots + z^{k+1}. Assim,
w - z,w = (1 + z + cdots + z^k) - (z + z^2 + cdots + z^k+1) = 1 - z^k+1

Passo 3

Usando w - z,w = w(1 - z), obtemos a expressão fechada de w:
w(1 - z) = 1 - z^k+1

Passo 4

Logo, se z \neq 1,
w = 1 - z^k+11 - z

Passo 5

Para a soma solicitada definimos q = -(1 - i). Então a soma S é
S = sumn=0^5 q^n = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5

Passo 6

Aplicando a fórmula de soma de PG com k = 5,
S = 1 - q^61 - q

Passo 7

Calculamos q^{6}. Como q = -(1 - i) tem módulo \sqrt{2} e argumento 3\pi/4, temos
q^6 = (raiz2)^6 e^i6cdot3pi/4 = 8 e^i9pi/2 = 8i

Passo 8

Além disso,
1 - q = 1 - (-(1 - i)) = 2 - i

Passo 9

Substituindo em S:
S = 1 - 8i2 - i

Passo 10

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 2 + i:
S = (1 - 8i)(2 + i)5 = 2 + i - 16i - 8i^25 = 10 - 15i5 = 2 - 3i

Resposta

2 - 3i

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