\frac{\partial^{2} u}{\partial t{2}}=a{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial
onde
e
é uma constante (velocidade). Não foram dadas condições iniciais nem de contorno. O objetivo aqui é encontrar a solução geral (forma explícita que qualquer solução deve ter) e também mostrar como obter a solução única quando são dadas condições iniciais típicas:
- condição inicial de deslocamento
, - condição inicial de velocidade
.
Passo 2
Estratégia escolhida (método das características / mudança de variáveis): introduzir variáveis que sigam as características da equação de onda. Defina as novas variáveis
A ideia é reescrever
como uma função
, isto é, definir
Essa mudança costuma transformar a equação num formato simples porque as combinações
acompanham as direções de propagação das ondas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em termos de derivadas de
usando a regra da cadeia. Note que
depende de
e
, e
dependem de
.
Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
onde
e
.
Agora, as segundas derivadas (calcule com calma, aplicando a cadeia novamente):
Como
e
e
, isso simplifica para
Para
, derive
em relação a
:
Usando
e
e reorganizando,
Passo 4
Substituir as expressões de
e
na equação original:
Dividindo por
e cancelando os termos idênticos
e
, obtém-se
Passo 5
Resolver a equação simples
. Essa equação diz que a derivada mista é zero, portanto derivando em
obtemos que
é independente de
, isto é,
para alguma função
apenas de
. Integrando em
,
onde
e
são funções arbitrárias de uma variável (as constantes de integração que dependem da outra variável ficam incorporadas em
e em
). Logo
Passo 6
Voltar às variáveis originais
. Lembrando
e
, a forma geral da solução é
onde
e
são funções arbitrárias (duas “onde” independentes):
representa uma onda que se propaga para a direita com velocidade
e
representa uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade
. Esta é a solução geral da equação de onda unidimensional (fórmula de d’Alembert).
Passo 7
Como usar condições iniciais típicas na prova (fórmula de d’Alembert). Suponha dadas
Aplicar
na forma geral:
E para
use a expressão obtida em Passo 3:
Em
:
Agora temos o sistema (em termos de derivadas)
Somando e subtraindo essas equações:
Integrando em
,
Constantes
podem ser combinadas (uma soma constante desloca
por constante), mas é comum escolher as integrais com limites adequados de forma que
zere. Substituindo em
e escolhendo limites que eliminem constantes, obtém-se a fórmula prática e standard (fórmula de d’Alembert):
Essa expressão dá a solução única com as condições iniciais
.
Passo 8
Dicas para a prova e interpretação prática:
- Se pedirem apenas a forma geral da solução, escreva
e explique que são funções arbitrárias determinada por condições iniciais/contorno. - Se forem dadas
e , aplique a fórmula de d’Alembert acima; é comum reescrever a integral usando primitiva de para calcular rapidamente. - Exemplo rápido: se
e , então
Isso confirma a interpretação física: a condição inicial gera uma oscilação em
que vibra no tempo com frequência relacionada a
.