\frac{\partial^{2} u}{\partial t{2}}=a{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
onde u=u(x,t) e a é uma constante (velocidade). Não foram dadas condições iniciais nem de contorno. O objetivo aqui é encontrar a solução geral (forma explícita que qualquer solução deve ter) e também mostrar como obter a solução única quando são dadas condições iniciais típicas:
  • condição inicial de deslocamento \,u(x,0)=\varphi(x)\,,
  • condição inicial de velocidade \,\partial_t u(x,0)=\psi(x)\,.

Passo 2

Estratégia escolhida (método das características / mudança de variáveis): introduzir variáveis que sigam as características da equação de onda. Defina as novas variáveis
\xi = x - a t,\qquad \eta = x + a t.
A ideia é reescrever u(x,t) como uma função v(\xi,\eta), isto é, definir
v(\xi,\eta) := u(x,t)\quad\text{com}\quad \xi=x-at,\\ \eta=x+at.
Essa mudança costuma transformar a equação num formato simples porque as combinações x\pm at acompanham as direções de propagação das ondas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u em termos de derivadas de v usando a regra da cadeia. Note que v depende de \xi e \eta, e \xi,\eta dependem de x,t.
Primeiro, as derivadas de primeira ordem:
\frac{\partial u}{\partial x} = v_\xi\frac{\partial\xi}{\partial x} + v_\eta\frac{\partial\eta}{\partial x} = v_\xi + v_\eta,
\frac{\partial u}{\partial t} = v_\xi\frac{\partial\xi}{\partial t} + v_\eta\frac{\partial\eta}{\partial t} = v_\xi(-a) + v_\eta(a) = a\bigl(v_\eta - v_\xi\bigr),
onde v_\xi=\partial v/\partial \xi e v_\eta=\partial v/\partial \eta.
Agora, as segundas derivadas (calcule com calma, aplicando a cadeia novamente):
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(v_\xi + v_\eta\bigr) = (v_{\xi\xi}+v_{\xi\eta})\frac{\partial\xi}{\partial x} + (v_{\eta\xi}+v_{\eta\eta})\frac{\partial\eta}{\partial x}.
Como \partial\xi/\partial x=1 e \partial\eta/\partial x=1 e v_{\xi\eta}=v_{\eta\xi}, isso simplifica para
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = v_{\xi\xi} + 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}.
Para \partial_{t}^{2}u, derive \partial_t u = a(v_\eta - v_\xi) em relação a t:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a\frac{\partial}{\partial t}\bigl(v_\eta - v_\xi\bigr) = a\bigl((v_{\eta\xi}\frac{\partial\xi}{\partial t}+v_{\eta\eta}\frac{\partial\eta}{\partial t}) - (v_{\xi\xi}\frac{\partial\xi}{\partial t}+v_{\xi\eta}\frac{\partial\eta}{\partial t})\bigr).
Usando \partial\xi/\partial t=-a e \partial\eta/\partial t= a e reorganizando,
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^2\bigl(v_{\xi\xi} - 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}\bigr).

Passo 4

Substituir as expressões de \partial_{t}^{2}u e \partial_{x}^{2}u na equação original:
a^2\bigl(v_{\xi\xi} - 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}\bigr) = a^2\bigl(v_{\xi\xi} + 2v_{\xi\eta} + v_{\eta\eta}\bigr).
Dividindo por a^2 e cancelando os termos idênticos v_{\xi\xi} e v_{\eta\eta}, obtém-se
-2v_{\xi\eta}=2v_{\xi\eta}\quad\Longrightarrow\quad v_{\xi\eta}=0.

Passo 5

Resolver a equação simples v_{\xi\eta}=0. Essa equação diz que a derivada mista é zero, portanto derivando em \eta obtemos que v_\xi é independente de \eta, isto é,
v_\xi(\xi,\eta)=A(\xi)
para alguma função A apenas de \xi. Integrando em \xi,
v(\xi,\eta)=\int A(\xi)\,d\xi + B(\eta) = F(\xi) + G(\eta),
onde F e G são funções arbitrárias de uma variável (as constantes de integração que dependem da outra variável ficam incorporadas em G e em F). Logo
v(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta).

Passo 6

Voltar às variáveis originais x,t. Lembrando \xi=x-at e \eta=x+at, a forma geral da solução é
u(x,t) = F(x - a t) + G(x + a t),
onde F e G são funções arbitrárias (duas “onde” independentes): F representa uma onda que se propaga para a direita com velocidade a e G representa uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade a. Esta é a solução geral da equação de onda unidimensional (fórmula de d’Alembert).

Passo 7

Como usar condições iniciais típicas na prova (fórmula de d’Alembert). Suponha dadas
u(x,0)=\varphi(x),\qquad \partial_t u(x,0)=\psi(x).
Aplicar t=0 na forma geral:
u(x,0)=F(x)+G(x)=\varphi(x).
E para \partial_t u use a expressão obtida em Passo 3:
\partial_t u(x,t)=a\bigl(G'(x+at)-F'(x-at)\bigr).
Em t=0:
\psi(x)=\partial_t u(x,0)=a\bigl(G'(x)-F'(x)\bigr).
Agora temos o sistema (em termos de derivadas)
F'(x)+G'(x)=\varphi'(x),\qquad -F'(x)+G'(x)=\frac{\psi(x)}{a}.
Somando e subtraindo essas equações:
2G'(x)=\varphi'(x)+\frac{\psi(x)}{a},\qquad 2F'(x)=\varphi'(x)-\frac{\psi(x)}{a}.
Integrando em x,
G(x)=\tfrac{1}{2}\varphi(x)+\tfrac{1}{2a}\int^{x}\psi(s)\,ds + C_1,\qquad F(x)=\tfrac{1}{2}\varphi(x)-\tfrac{1}{2a}\int^{x}\psi(s)\,ds + C_2.
Constantes C_1,C_2 podem ser combinadas (uma soma constante desloca u por constante), mas é comum escolher as integrais com limites adequados de forma que C_1,C_2 zere. Substituindo em u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) e escolhendo limites que eliminem constantes, obtém-se a fórmula prática e standard (fórmula de d’Alembert):
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\,\varphi(x-at)+\tfrac{1}{2}\,\varphi(x+at) +\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{\,x+at}\psi(s)\,ds.
Essa expressão dá a solução única com as condições iniciais \varphi,\psi.

Passo 8

Dicas para a prova e interpretação prática:
  • Se pedirem apenas a forma geral da solução, escreva u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) e explique que F,G são funções arbitrárias determinada por condições iniciais/contorno.
  • Se forem dadas \varphi e \psi, aplique a fórmula de d’Alembert acima; é comum reescrever a integral usando primitiva de \psi para calcular rapidamente.
  • Exemplo rápido: se \varphi(x)=\sin x e \psi(x)=0, então
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\sin(x-at)+\tfrac{1}{2}\sin(x+at)=\sin x\cos(at).
Isso confirma a interpretação física: a condição inicial gera uma oscilação em x que vibra no tempo com frequência relacionada a a.

Resposta

u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
u(x,t)=\dfrac{1}{2}\varphi(x-at)+\dfrac{1}{2}\varphi(x+at)+\dfrac{1}{2a}\displaystyle\int_{x-at}^{\,x+at}\psi(s)\,ds

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