Estude, segundo os valores de
, a posição relativa das retas
e
em cada caso. Ou seja, diga para quais valores
, as retas
e
são reversas, para quais valores
elas são concorrentes (neste caso, para cada valor
encontrado, diga em qual ponto
e
se interceptam) e para quais valores elas são paralelas (aqui, para cada valor
encontrado, diga se as retas são paralelas iguais ou paralelas distintas).
e
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar, em função de
, a posição relativa das retas
Para isso precisamos extrair os vetores direção e pontos-base, verificar quando esses vetores são proporcionais (paralelismo), resolver a interseção (concorrência) e, caso não sejam nem paralelas nem concorrentes, concluirmos que são reversas (skew).
Passo 2
O vetor direção de
é
e o vetor direção de
é
Os pontos-base são
em
e
em
.
Passo 3
Para que
e
sejam paralelas, é preciso que
e
sejam proporcionais, ou seja, que seu produto vetorial seja nulo. Como
temos paralelismo se, e somente se,
Para
temos
e como os planos
e
são distintos, as retas são paralelas distintas.
Passo 4
Para que
e
sejam concorrentes, deve existir
tais que
Comparando a coordenada
dá
, logo
Substituindo
e igualando
e
:
implica
Da segunda equação
, e da primeira
. O ponto de interseção é
Passo 5
Para todos os outros valores de
(isto é,
e
), as retas não são paralelas nem se intersectam (porque ficam em planos
e
), logo são reversas (skew).
Resposta
Para
:
e
são paralelas distintas.
Para :
e
são concorrentes, intersectando em
.
Para :
e
são reversas.
Para
Para