Estude, segundo os valores de m, a posição relativa das retas r e s em cada caso. Ou seja, diga para quais valores m in R, as retas r e s são reversas, para quais valores m elas são concorrentes (neste caso, para cada valor m encontrado, diga em qual ponto r e s se interceptam) e para quais valores elas são paralelas (aqui, para cada valor m encontrado, diga se as retas são paralelas iguais ou paralelas distintas).
r:(x, y, z)=(0,1,0)+lambda(m-1, m, 0) e s:(x, y, z)=(1,1, m)+lambda(m-1, m+1,0).

Passo 1

O enunciado pede para classificar, em função de m, a posição relativa das retas
r:,(x,y,z)=(0,1,0)+lambda,(m-1,;m,;0),
s:,(x,y,z)=(1,1,m)+t,(m-1,;m+1,;0)
Para isso precisamos extrair os vetores direção e pontos-base, verificar quando esses vetores são proporcionais (paralelismo), resolver a interseção (concorrência) e, caso não sejam nem paralelas nem concorrentes, concluirmos que são reversas (skew).

Passo 2

O vetor direção de r é
vr=(m-1,;m,;0),
e o vetor direção de s é
vs=(m-1,;m+1,;0)
Os pontos-base são A=(0,1,0) em r e B=(1,1,m) em s.

Passo 3

Para que r e s sejam paralelas, é preciso que vr e vs sejam proporcionais, ou seja, que seu produto vetorial seja nulo. Como
vrtimes vs=(0,0,,(m-1)(m+1)-m(m-1))=(0,0,m-1),
temos paralelismo se, e somente se,
m-1=0Longrightarrow m=1
Para m=1 temos
vr=(0,1,0), vs=(0,2,0),
e como os planos z=0 e z=1 são distintos, as retas são paralelas distintas.

Passo 4

Para que r e s sejam concorrentes, deve existir lambda,t tais que
(0,1,0)+lambda(m-1,m,0)=(1,1,m)+t(m-1,m+1,0)
Comparando a coordenada z 0=m+0cdot t, logo
m=0
Substituindo m=0 e igualando x e y:
(0,1,0)+lambda(-1,0,0)=(1,1,0)+t(-1,1,0)
implica
-lambda=1-t, 1=1+t
Da segunda equação t=0, e da primeira lambda=-1. O ponto de interseção é
(1,1,0)

Passo 5

Para todos os outros valores de m (isto é, mneq0 e mneq1), as retas não são paralelas nem se intersectam (porque ficam em planos z=0 e z=mneq0), logo são reversas (skew).

Resposta

Para m=1: r e s são paralelas distintas.
Para m=0: r e s são concorrentes, intersectando em (1,1,0).
Para mneq0,1: r e s são reversas.

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