Responda:
Construa o gráfico cartesiano das funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} :
y=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função de \mathbb{R} em \mathbb{R} dada por
y=2x-1.
Informações fornecidas:
  • A expressão da função é \;y=2x-1.
  • O domínio implícito é todo \mathbb{R} (a função está definida para qualquer x real).
    A tarefa é traçar a reta correspondente no plano cartesiano (ou seja, indicar como construir o gráfico passo a passo).

Passo 2

Entendendo que tipo de função temos (aula rápida e prática).
A expressão \;y=2x-1 é do tipo
y = mx + b,
onde:
  • \;m é o coeficiente angular (declive, “inclinação” da reta). Ele diz quanto y aumenta quando x aumenta uma unidade: “rise over run”.
  • \;b é o termo constante (coeficiente linear), isto é, a ordenada no ponto em que a reta cruza o eixo y (quando x=0).
    No nosso caso, identifique:
m = 2,\qquad b = -1.

Passo 3

Interpretação do coeficiente angular \;m=2.
Significa que, ao mover-se uma unidade para a direita no eixo x (aumentar x em 1), y aumenta em 2 unidades. Visualmente: a reta sobe rapidamente (subida de 2 para cada 1 em x). Isso é útil para traçar pontos a partir de um ponto inicial.

Passo 4

Encontrar a interseção com o eixo y (ordemada na origem).
Para \;x=0:
y = 2\cdot 0 - 1 = -1.
Logo a reta passa pelo ponto \;(0,-1). Esse é um ponto obrigatório a marcar ao desenhar a reta.

Passo 5

Encontrar a interseção com o eixo x (abscissa onde y=0).
Coloca-se y=0 e resolve-se para x:
0 = 2x - 1 \quad\Rightarrow\quad 2x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \tfrac{1}{2}.
Portanto a reta cruza o eixo x no ponto \;\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr). Também marque esse ponto no gráfico.

Passo 6

Gerar mais pontos simples usando a fórmula e/ou o coeficiente angular para garantir precisão ao traçar a reta.
Escolhemos valores inteiros fáceis para x e calculamos y:
  • Para \;x=1:
y = 2\cdot 1 - 1 = 1,
ponto \;(1,1).
  • Para \;x=-1:
y = 2\cdot(-1) - 1 = -2 - 1 = -3,
ponto \;(-1,-3).
Também se pode construir a partir de (0,-1) usando m=2: indo uma unidade para a direita chega-se a (1,1) (subir 2 unidades), ou indo uma unidade para a esquerda chega-se a (-1,-3) (descer 2 unidades).

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (sem régua sofisticada, só com papel e lápis).
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque uma escala regular (por exemplo, cada quadradinho vale 1 unidade).
  2. Marque e rotule os pontos encontrados: \;(0,-1), \;\bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr), \;(1,1), \;(-1,-3).
  3. Coloque um ponto maior em cada um desses locais.
  4. Use uma régua para traçar a reta que passa por esses pontos — uma reta única passa por todos eles porque a função é linear.
  5. Prolongue a reta além dos pontos marcados e desenhe setas nas extremidades para indicar que ela se estende por todo o \mathbb{R}.
Dica prática: para verificar, pegue dois pontos quaisquer que você marcou (por ex.: (0,-1) e (1,1)) e confira que a distância vertical dividida pela horizontal dá 2 (isto é, \dfrac{1-(-1)}{1-0}=2): confirma o coeficiente angular.

Passo 8

Domínio e imagem (intervalos).
  • O domínio já era todo \mathbb{R} (qualquer x real é permitido).
  • Como a reta tem m\neq 0, quando x percorre todo \mathbb{R}, y=2x-1 também percorre todo \mathbb{R}. Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é \mathbb{R}.

Passo 9

Forma alternativa útil (equação ponto-declive) para uso em prova:
A partir do ponto (0,-1) e declive 2, a equação ponto-declive é
y - (-1) = 2(x - 0),
que simplificada reverte para
y = 2x - 1,
confirmando consistência. Saber usar a forma ponto-declive ajuda a traçar retas rapidamente a partir de um ponto conhecido.

Resposta

A reta de equação y=2x-1 passa por (0,-1), por \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e por (1,1); o coeficiente angular é m=2 e o coeficiente linear é b=-1; domínio \mathbb{R}, imagem \mathbb{R}.

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