Responda:
Construa o gráfico cartesiano das funções de
em
:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função de
em
dada por
Informações fornecidas:
- A expressão da função é
. - O domínio implícito é todo
(a função está definida para qualquer real).
A tarefa é traçar a reta correspondente no plano cartesiano (ou seja, indicar como construir o gráfico passo a passo).
Passo 2
Entendendo que tipo de função temos (aula rápida e prática).
A expressão é do tipo
A expressão
onde:
-
é o coeficiente angular (declive, “inclinação” da reta). Ele diz quanto aumenta quando aumenta uma unidade: “rise over run”. -
é o termo constante (coeficiente linear), isto é, a ordenada no ponto em que a reta cruza o eixo (quando ).
No nosso caso, identifique:
Passo 3
Interpretação do coeficiente angular
.
Significa que, ao mover-se uma unidade para a direita no eixo (aumentar
em
),
aumenta em
unidades. Visualmente: a reta sobe rapidamente (subida de
para cada
em
). Isso é útil para traçar pontos a partir de um ponto inicial.
Significa que, ao mover-se uma unidade para a direita no eixo
Passo 4
Encontrar a interseção com o eixo
(ordemada na origem).
Para :
Para
Logo a reta passa pelo ponto
. Esse é um ponto obrigatório a marcar ao desenhar a reta.
Passo 5
Encontrar a interseção com o eixo
(abscissa onde
).
Coloca-se e resolve-se para
:
Coloca-se
Portanto a reta cruza o eixo
no ponto
. Também marque esse ponto no gráfico.
Passo 6
Gerar mais pontos simples usando a fórmula e/ou o coeficiente angular para garantir precisão ao traçar a reta.
Escolhemos valores inteiros fáceis para e calculamos
:
Escolhemos valores inteiros fáceis para
- Para
:
ponto
.
- Para
:
ponto
.
Também se pode construir a partir de usando
: indo uma unidade para a direita chega-se a
(subir 2 unidades), ou indo uma unidade para a esquerda chega-se a
(descer 2 unidades).
Também se pode construir a partir de
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (sem régua sofisticada, só com papel e lápis).
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque uma escala regular (por exemplo, cada quadradinho vale
unidade). - Marque e rotule os pontos encontrados:
, , , . - Coloque um ponto maior em cada um desses locais.
- Use uma régua para traçar a reta que passa por esses pontos — uma reta única passa por todos eles porque a função é linear.
- Prolongue a reta além dos pontos marcados e desenhe setas nas extremidades para indicar que ela se estende por todo o
.
Dica prática: para verificar, pegue dois pontos quaisquer que você marcou (por ex.:
e
) e confira que a distância vertical dividida pela horizontal dá
(isto é,
): confirma o coeficiente angular.
Passo 8
Domínio e imagem (intervalos).
- O domínio já era todo
(qualquer real é permitido). - Como a reta tem
, quando percorre todo , também percorre todo . Portanto a imagem (contradomínio efetivo) é .
Passo 9
Forma alternativa útil (equação ponto-declive) para uso em prova:
A partir do ponto e declive
, a equação ponto-declive é
A partir do ponto
que simplificada reverte para
confirmando consistência. Saber usar a forma ponto-declive ajuda a traçar retas rapidamente a partir de um ponto conhecido.
Resposta
A reta de equação
passa por
, por
e por
; o coeficiente angular é
e o coeficiente linear é
; domínio
, imagem
.