Estude os sinais das seguintes funções::
f(x)=x^2+xx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar os sinais da função racional f(x)=x^2+xx^2-1. O conteúdo é análise de sinais de funções racionais, que envolve fatorar numerador e denominador, identificar zeros e pontos de descontinuidade e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, encontramos as raízes do numerador e do denominador. O numerador é x^2+x=x(x+1), que zera em x=0 e x=-1. O denominador é x^2-1=(x-1)(x+1), que zera em x=1 e x=-1. Assim, o domínio de f é Rsetminuspm1.

Passo 3

Agora fatoramos e simplificamos f(x). Temos
f(x)=x(x+1)(x-1)(x+1)
Para xneq-1 podemos cancelar (x+1), obtendo
f(x)=xx-1, xneqpm1
O ponto x=-1 fica como ponto removível (buraco) e x=1 é polo (assimptota vertical).

Passo 4

Para estudar o sinal de f(x)=xx-1, observamos os dois fatores x e (x-1). Marcamos os pontos críticos no eixo real:
-infty;;(-1);;(0);;(1);;+infty
Em cada intervalo analisamos sinal de x e de x-1:
  • Em (-infty,-1): x<0 e x-1<0 f>0.
  • Em (-1,0): x<0 e x-1<0 f>0.
  • Em (0,1): x>0 e x-1<0 f<0.
  • Em (1,+infty): x>0 e x-1>0 f>0.

Passo 5

Concluímos qual é o sinal de f(x) em cada intervalo, apontando também onde ela se anula ou diverge.

Resposta

f(x)>0 em ( -infty,-1), em (-1,0) e em (1,+infty).
f(x)<0 em (0,1).
f(x)=0 somente em x=0.
A função é indefinida em x=pm1 (ponto removível em x=-1 e polo em x=1).

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