como uma série infinita. Analise o resto da série que você encontrou para decidir se a série é convergente ou não.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão da primitiva de e^{-x^{2}} como uma série infinita e analisar o resto (o termo de erro) dessa série para decidir se a série converge. Informações dadas:
A função integranda é e^{-x^{2}}.
Quer-se a integral \displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx escrita como série infinita e uma análise do resto para concluir sobre convergência.
Passo 2
Vamos começar pela ferramenta básica: a expansão em série de Taylor (ou série de potências) da função exponencial. A fórmula é
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
válida para todo z\in\mathbb{C} (ou seja, raio de convergência infinito). Agora substituímos z=-x^{2}. Assim obtemos a expansão em série para o integrando:
Agora vamos integrar termo a termo. Para evitar a constante de integração ambígua e ter uma série bem definida, defino a primitiva particular
F(x):=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.
Como a série para e^{-t^{2}} tem raio de convergência infinito, ela converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de t, o que permite trocar soma e integral. Integramos cada termo:
Para decidir convergência, é suficiente mostrar que R_{N}(x)\to 0 quando N\to\infty para cada x. Uma forma clara é mostrar convergência absoluta da série de potências que define a primitiva.
Para n\to\infty essa razão tende a 0 (porque aparece um fator \dfrac{1}{n+1}). Ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}=0.
Pelo critério da razão, isso implica que \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x) converge (para qualquer x fixo). Portanto a série original converge absolutamente para todo x. Convergência absoluta implica que o resto R_{N}(x)\to 0 quando N\to\infty, isto é, a soma infinita converge e a expressão que encontramos é válida como primitiva.
Observação alternativa (erro prático): para x fixo a série é eventualmente alternada com termos de módulo monotonicamente decrescentes (pois para n suficientemente grande \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1), então pelo critério da série alternada o módulo do resto é limitado pelo próximo termo:
para N grande o suficiente. Isso dá uma estimativa prática do erro ao truncar a série.
Passo 5
Resumo prático para uso em prova e aproximações:
Expandir e^{z} e substituir z=-x^{2}.
Integrar termo a termo (justificativa: raio de convergência infinito, convergência uniforme em compactos).
A série obtida para a primitiva é absoluta e, portanto, convergente para todo x. Para erro numérico, pode usar a estimação por termo seguinte (alternante) ou a convergência absoluta para provar que o resto tende a zero.
Resposta
\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}