Avalie
\int e^{-x^{2}} d x
como uma série infinita. Analise o resto da série que você encontrou para decidir se a série é convergente ou não.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão da primitiva de e^{-x^{2}} como uma série infinita e analisar o resto (o termo de erro) dessa série para decidir se a série converge. Informações dadas:
  • A função integranda é e^{-x^{2}}.
  • Quer-se a integral \displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx escrita como série infinita e uma análise do resto para concluir sobre convergência.

Passo 2

Vamos começar pela ferramenta básica: a expansão em série de Taylor (ou série de potências) da função exponencial. A fórmula é
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},
válida para todo z\in\mathbb{C} (ou seja, raio de convergência infinito). Agora substituímos z=-x^{2}. Assim obtemos a expansão em série para o integrando:
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{n!}.
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o índice da soma (inteiro não negativo),
  • n! é o fatorial de n,
  • x^{2n} é a potência de x.

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo. Para evitar a constante de integração ambígua e ter uma série bem definida, defino a primitiva particular
F(x):=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.
Como a série para e^{-t^{2}} tem raio de convergência infinito, ela converge uniformemente em qualquer intervalo compacto de t, o que permite trocar soma e integral. Integramos cada termo:
F(x)=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.
Calcule a integral simples \int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}. Logo
F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.
Portanto uma primitiva geral é dada por
\int e^{-x^{2}}\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!},
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Agora analisar o resto (o erro do truncamento da série). Defina a soma parcial
S_{N}(x):=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}
e o resto correspondente para F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt:
R_{N}(x):=F(x)-S_{N}(x)=\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.
Para decidir convergência, é suficiente mostrar que R_{N}(x)\to 0 quando N\to\infty para cada x. Uma forma clara é mostrar convergência absoluta da série de potências que define a primitiva.
Considere os termos em módulo
a_{n}(x):=\left|\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}\right|.
Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)} =\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)(n+1)!}\cdot\frac{(2n+1)\,n!}{|x|^{2n+1}} =|x|^{2}\cdot\frac{2n+1}{2n+3}\cdot\frac{1}{n+1}.
Para n\to\infty essa razão tende a 0 (porque aparece um fator \dfrac{1}{n+1}). Ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}=0.
Pelo critério da razão, isso implica que \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x) converge (para qualquer x fixo). Portanto a série original converge absolutamente para todo x. Convergência absoluta implica que o resto R_{N}(x)\to 0 quando N\to\infty, isto é, a soma infinita converge e a expressão que encontramos é válida como primitiva.
Observação alternativa (erro prático): para x fixo a série é eventualmente alternada com termos de módulo monotonicamente decrescentes (pois para n suficientemente grande \dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1), então pelo critério da série alternada o módulo do resto é limitado pelo próximo termo:
|R_{N}(x)|\le a_{N+1}(x)=\frac{|x|^{2(N+1)+1}}{(2(N+1)+1)\,(N+1)!}
para N grande o suficiente. Isso dá uma estimativa prática do erro ao truncar a série.

Passo 5

Resumo prático para uso em prova e aproximações:
  • Expandir e^{z} e substituir z=-x^{2}.
  • Integrar termo a termo (justificativa: raio de convergência infinito, convergência uniforme em compactos).
  • A série obtida para a primitiva é absoluta e, portanto, convergente para todo x. Para erro numérico, pode usar a estimação por termo seguinte (alternante) ou a convergência absoluta para provar que o resto tende a zero.

Resposta

\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}

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