Êstude o sinal das expressões.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que se estude o sinal dela. Ou seja, determinar em quais valores de
a expressão é positiva, nula ou negativa.
Informações relevantes:
- A expressão é
. - O domínio natural é todo o conjunto dos reais:
. - Perguntas que vamos responder: para quais
vale , para quais vale e para quais vale .
Passo 2
Primeiro encontramos a raiz (onde a expressão é zero), porque é aí que o sinal pode mudar. Resolvemos a equação
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Dividindo ambos os lados por
(atentando que dividir por número negativo inverte o sentido de desigualdades, mas aqui é igualdade, então sem mudança) obtemos
Portanto a expressão anula-se em
.
Passo 3
Agora estudamos o sinal. Método 1 (álgebra): resolver as desigualdades diretamente.
Para
:
subtraindo
:
Dividindo por
(lembrando: ao dividir uma desigualdade por número negativo o sinal da desigualdade inverte):
Passo 4
Para
:
subtraindo
:
Dividindo por
(invertendo o sinal):
Passo 5
Verificação por pontos e interpretação (ajuda a fixar a ideia): escolha um
à esquerda de
, por exemplo
. Então
, confirma que à esquerda da raiz a expressão é positiva. Escolha um
à direita, por exemplo
. Então
, confirma que à direita da raiz a expressão é negativa. Isso faz sentido porque uma função afim
só muda de sinal na sua raiz e o coeficiente de
aqui é negativo (
), o que faz a expressão decrescer quando
aumenta.
Passo 6
Resumo do método aprendido (útil para a prova): para estudar o sinal de uma expressão linear
,
- encontra-se a raiz resolvendo
; - testa-se o sinal em cada intervalo determinado pela raiz (ou resolve-se as desigualdades usando as regras de sinais ao multiplicar/dividir por números negativos).