Êstude o sinal das expressões.
2-3 x

Passo 1

O enunciado dá a expressão 2-3x e pede que se estude o sinal dela. Ou seja, determinar em quais valores de x a expressão é positiva, nula ou negativa.
Informações relevantes:
  • A expressão é 2-3x.
  • O domínio natural é todo o conjunto dos reais: x\in\mathbb{R}.
  • Perguntas que vamos responder: para quais x vale 2-3x>0, para quais x vale 2-3x=0 e para quais x vale 2-3x<0.

Passo 2

Primeiro encontramos a raiz (onde a expressão é zero), porque é aí que o sinal pode mudar. Resolvemos a equação
2-3x=0.
Subtraindo 2 dos dois lados obtemos
-3x=-2.
Dividindo ambos os lados por -3 (atentando que dividir por número negativo inverte o sentido de desigualdades, mas aqui é igualdade, então sem mudança) obtemos
x=\frac{2}{3}.
Portanto a expressão anula-se em x=\dfrac{2}{3}.

Passo 3

Agora estudamos o sinal. Método 1 (álgebra): resolver as desigualdades diretamente.
Para 2-3x>0:
2-3x>0
subtraindo 2:
-3x>-2.
Dividindo por -3 (lembrando: ao dividir uma desigualdade por número negativo o sinal da desigualdade inverte):
x<\frac{2}{3}.

Passo 4

Para 2-3x<0:
2-3x<0
subtraindo 2:
-3x<-2.
Dividindo por -3 (invertendo o sinal):
x>\frac{2}{3}.

Passo 5

Verificação por pontos e interpretação (ajuda a fixar a ideia): escolha um x à esquerda de \dfrac{2}{3}, por exemplo x=0. Então 2-3\cdot0=2>0, confirma que à esquerda da raiz a expressão é positiva. Escolha um x à direita, por exemplo x=1. Então 2-3\cdot1=-1<0, confirma que à direita da raiz a expressão é negativa. Isso faz sentido porque uma função afim ax+b só muda de sinal na sua raiz e o coeficiente de x aqui é negativo ( a=-3), o que faz a expressão decrescer quando x aumenta.

Passo 6

Resumo do método aprendido (útil para a prova): para estudar o sinal de uma expressão linear ax+b,
  • encontra-se a raiz resolvendo ax+b=0;
  • testa-se o sinal em cada intervalo determinado pela raiz (ou resolve-se as desigualdades usando as regras de sinais ao multiplicar/dividir por números negativos).

Resposta

2-3x>0 \Longleftrightarrow x<\dfrac{2}{3}\n
2-3x=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\n
2-3x<0 \Longleftrightarrow x>\dfrac{2}{3}

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