y^{\prime}=2 x /\left(y+x^{2} y\right), y(0)=-2

Passo 1

O enunciado fornece uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. Dados:
  • A equação diferencial: y'=\dfrac{2x}{y+x^{2}y}.
  • A condição inicial: y(0)=-2.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma explícita em termos de derivada e listar a informação algébrica que podemos usar (a manipulação algébrica ainda não é a resolução final, apenas preparação).
  • Escrever y' como derivada: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{y+x^{2}y}.
  • Fatorar o denominador quando possível: y+x^{2}y = y(1+x^{2}). Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Esta forma já mostra que as variáveis y e x podem ser separadas (isto será usado para integrar).

Passo 3

Separar as variáveis e preparar as integrais. Multiplicando ambos os lados por y(1+x^{2})\,dx obtemos
y\,dy=\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora integramos os dois lados. Vou explicar cada integral:
  • Integral do lado esquerdo: \displaystyle\int y\,dy. Regra: \int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}+C. Aqui y é a variável de integração.
  • Integral do lado direito: \displaystyle\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx. Essa é uma integral que reconhecemos pela substituição u=1+x^{2}, porque du=2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln(1+x^{2})+C,
já que 1+x^{2}>0 para todo x, podemos omitir o valor absoluto no logaritmo (mas formalmente é \ln|1+x^{2}|).
Portanto, integrando ambos os lados obtemos
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+x^{2})+C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 4

Resolver para y^{2} e encontrar a constante usando a condição inicial.
  • Multiplicando por 2:
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+C_{1},
onde C_{1}=2C (aqui apenas renomeando a constante).
  • Aplicar a condição inicial y(0)=-2. Substituindo x=0 e y=-2 na fórmula:
(-2)^{2}=2\ln(1+0^{2})+C_{1}\quad\Rightarrow\quad 4=2\cdot 0 + C_{1}.
Logo C_{1}=4.
Assim a relação fica
y^{2}=2\ln(1+x^{2})+4.

Passo 5

Resolver para y (escolher o sinal correto usando a condição inicial).
  • Tirando raiz quadrada:
y=\pm\sqrt{2\ln(1+x^{2})+4}.
  • Usar y(0)=-2 para escolher o sinal. Avaliando em x=0:
\sqrt{2\ln(1+0)+4}=\sqrt{4}=2.
Como y(0)=-2, a solução deve ser a raiz negativa. Portanto
y(x)=-\sqrt{2\ln(1+x^{2})+4}.

Passo 6

Verificação rápida e observações importantes (para usar na prova e ganhar pontos).
  • Verificação por diferenciação (esquema): definir S(x)=2\ln(1+x^{2})+4, então y=-\sqrt{S}. Derivando:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{S}}\,S'(x).
Como S'(x)=\dfrac{4x}{1+x^{2}}, tem-se
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{S}}\cdot\frac{4x}{1+x^{2}}=-\frac{2x}{\sqrt{S}\,(1+x^{2})}.
Mas \sqrt{S}=-y porque y é a raiz negativa, então
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{(-y)(1+x^{2})}=\frac{2x}{y(1+x^{2})},
que é exatamente a equação original. Assim a solução confere.
  • Observação sobre domínio: para todo x\in\mathbb{R}, 1+x^{2}\ge 1\Rightarrow \ln(1+x^{2})\ge 0. Logo 2\ln(1+x^{2})+4\ge 4>0, a raiz é sempre bem definida e a solução existe para todo x\in\mathbb{R}.
  • Observação sobre o denominador original: o lado direito da EDO tem y(1+x^{2}) no denominador, mas a solução encontrada satisfaz |y(x)|\ge 2 para todo x, então y(x)\neq 0 e não há problema de divisão por zero na solução obtida.

Resposta

y(x)=-\sqrt{2\ln(1+x^{2})+4}

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