,
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial. Dados:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
O que é pedido:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma explícita em termos de derivada e listar a informação algébrica que podemos usar (a manipulação algébrica ainda não é a resolução final, apenas preparação).
- Escrever
como derivada: . - Fatorar o denominador quando possível:
. Portanto a equação fica
Esta forma já mostra que as variáveis
e
podem ser separadas (isto será usado para integrar).
Passo 3
Separar as variáveis e preparar as integrais. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora integramos os dois lados. Vou explicar cada integral:
- Integral do lado esquerdo:
. Regra: . Aqui é a variável de integração. - Integral do lado direito:
. Essa é uma integral que reconhecemos pela substituição , porque . Assim
já que
para todo
, podemos omitir o valor absoluto no logaritmo (mas formalmente é
).
Portanto, integrando ambos os lados obtemos
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Resolver para
e encontrar a constante usando a condição inicial.
- Multiplicando por
:
onde
(aqui apenas renomeando a constante).
- Aplicar a condição inicial
. Substituindo e na fórmula:
Logo
.
Assim a relação fica
Passo 5
Resolver para
(escolher o sinal correto usando a condição inicial).
- Tirando raiz quadrada:
- Usar
para escolher o sinal. Avaliando em :
Como
, a solução deve ser a raiz negativa. Portanto
Passo 6
Verificação rápida e observações importantes (para usar na prova e ganhar pontos).
- Verificação por diferenciação (esquema): definir
, então . Derivando:
Como
, tem-se
Mas
porque
é a raiz negativa, então
que é exatamente a equação original. Assim a solução confere.
- Observação sobre domínio: para todo
, . Logo , a raiz é sempre bem definida e a solução existe para todo . - Observação sobre o denominador original: o lado direito da EDO tem
no denominador, mas a solução encontrada satisfaz para todo , então e não há problema de divisão por zero na solução obtida.