y^{\prime}=2 x /(1+2 y), \quad y(2)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: y'=\dfrac{2x}{1+2y}.
  • Condição inicial: y(2)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis x e y. Aqui y é função de x, então y'=\dfrac{dy}{dx}. A equação é
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+2y}.
Multiplicando ambos os lados por (1+2y)\,dx obtemos
(1+2y)\,dy = 2x\,dx.
Isto coloca todos os termos em y do lado esquerdo e todos os termos em x do lado direito — procedimento chamado de separação de variáveis.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral passo a passo:
  • Integral do lado esquerdo:
\int(1+2y)\,dy = \int 1\,dy + 2\int y\,dy = y + y^2,
pois \int 1\,dy = y e \int y\,dy = \dfrac{y^2}{2}, multiplicando por 2 y^2.
  • Integral do lado direito:
\int 2x\,dx = x^2,
pois \int x\,dx=\dfrac{x^2}{2} e multiplicando por 2 x^2.
Juntando e adicionando a constante de integração C, obtemos
y + y^2 = x^2 + C.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(2)=0 para encontrar C. Substituindo x=2 e y=0 em y+y^2=x^2+C:
0 + 0 = 2^2 + C \quad\Rightarrow\quad C = -4.
Logo a relação implícita entre y e x é
y^2 + y = x^2 - 4.

Passo 5

Despejamos y resolvendo a equação quadrática em y:
y^2 + y - (x^2-4)=0.
Para uma equação quadrática a y^2 + b y + c = 0 a fórmula quadrática dá
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a=1, b=1 e c=-(x^2-4) = -x^2 + 4. Calculando o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4\cdot 1\cdot(-x^2+4) = 4x^2 - 15.
Portanto as soluções explícitas são
y(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.

Passo 6

Precisamos escolher o sinal \pm que satisfaz a condição inicial y(2)=0. Avaliando as duas opções em x=2:
\sqrt{4\cdot 2^2 - 15} = \sqrt{16-15} = 1.
Assim as duas candidatas em x=2 são
y(2)=\frac{-1 + 1}{2}=0 \quad\text{e}\quad y(2)=\frac{-1 - 1}{2}=-1.
Como a condição inicial exige y(2)=0, escolhemos o sinal +. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{-1 + \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.

Passo 7

Comentário sobre domínio e continuidade: a expressão sob a raiz exige 4x^2-15 \ge 0, ou seja
|x| \ge \frac{\sqrt{15}}{2}\approx 1{,}9365.
Como x=2 está nesse intervalo, a solução acima é válida em um intervalo contendo x=2. Note também que valores de y que anulem 1+2y (isto é y=-\tfrac12) não são permitidos na álgebra anterior porque aparecem no denominador ao separar variáveis; portanto a solução é consistente no domínio indicado.

Resposta

y(x)=\frac{-1 + \sqrt{4x^2 - 15}}{2}.

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