Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Aqui
é função de
, então
. A equação é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isto coloca todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito — procedimento chamado de separação de variáveis.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar a integral passo a passo:
- Integral do lado esquerdo:
pois
e
, multiplicando por
dá
.
- Integral do lado direito:
pois
e multiplicando por
dá
.
Juntando e adicionando a constante de integração
, obtemos
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
em
:
Logo a relação implícita entre
e
é
Passo 5
Despejamos
resolvendo a equação quadrática em
:
Para uma equação quadrática
a fórmula quadrática dá
onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Portanto as soluções explícitas são
Passo 6
Precisamos escolher o sinal
que satisfaz a condição inicial
. Avaliando as duas opções em
:
Assim as duas candidatas em
são
Como a condição inicial exige
, escolhemos o sinal
. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Comentário sobre domínio e continuidade: a expressão sob a raiz exige
, ou seja
Como
está nesse intervalo, a solução acima é válida em um intervalo contendo
. Note também que valores de
que anulem
(isto é
) não são permitidos na álgebra anterior porque aparecem no denominador ao separar variáveis; portanto a solução é consistente no domínio indicado.