Êstude o sinal das expressões.
3 x-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da expressão 3x-1. Ou seja, determinar para quais valores de x a expressão é positiva, negativa ou nula. As informações dadas são apenas a própria expressão:
3x-1.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar quando essa expressão é igual a zero. Resolver a equação
3x-1=0.
Isso é uma equação linear simples. Para resolver somo 1 em ambos os lados e dividimos por 3:
3x=1 \qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{1}{3}.
Esse valor x=\tfrac{1}{3} é o ponto onde a expressão muda de sinal (ou pode mudar). Então agora sabemos o ponto crítico.

Passo 3

Agora vamos entender a estrutura da expressão para decidir o sinal. Podemos fatorar a constante 3:
3x-1 = 3\left(x-\frac{1}{3}\right).
Aqui temos o produto de dois fatores: 3 e \left(x-\tfrac{1}{3}\right). O fator 3 é sempre positivo (pois 3>0). Portanto o sinal de 3x-1 é exatamente o mesmo que o sinal de \left(x-\tfrac{1}{3}\right). Em palavras: a expressão será positiva quando x-\tfrac{1}{3}>0, negativa quando x-\tfrac{1}{3}<0, e zero quando x-\tfrac{1}{3}=0.
Explicando a regra usada: multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número positivo não altera o sentido da desigualdade; por isso podemos dividir por 3 sem inverter sinais.

Passo 4

Determinar as desigualdades correspondentes:
  • Para 3x-1>0:
3\left(x-\frac{1}{3}\right)>0 \iff x-\frac{1}{3}>0 \iff x>\frac{1}{3}.
  • Para 3x-1<0:
3\left(x-\frac{1}{3}\right)<0 \iff x-\frac{1}{3}<0 \iff x<\frac{1}{3}.
  • Para 3x-1=0:
x=\frac{1}{3}.

Passo 5

Para reforçar com valores de teste (truque útil na prova): escolha um x à direita de \tfrac{1}{3}, por exemplo x=1. Calcule 3\cdot1-1=2>0 — positivo. Escolha um x à esquerda, por exemplo x=0. Calcule 3\cdot0-1=-1<0 — negativo. Isso confirma a análise anterior.

Resposta

3x-1>0 para x>\dfrac{1}{3}
3x-1=0 para x=\dfrac{1}{3}
3x-1<0 para x<\dfrac{1}{3}

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