Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas (através do estudo do sinal da derivada). Use outras técnicas que você preferir, se preciso, para tracar seus gráficos.
y=x^4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função y = x^{4} - x^{2} e também determinar onde ela cresce ou decresce via o sinal da derivada. O conteúdo envolvido é estudo de sinais de funções polinomiais de grau 4 e análise de monotonicidade por derivadas. Vamos precisar calcular f’(x), encontrar seus zeros, montar tabelas de sinal de f e f’ e, a partir disso, classificar extremos e esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x).
f(x)=x^4-x^2
Usando regras de potência, temos
f'(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1)
Os pontos críticos surgem quando f’(x)=0, ou seja x=0 e 2x^{2}-1=0 ⇒ x=±\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f’(x)=2x(2x^{2}-1). Separamos os intervalos:
• Em x<−1/\sqrt{2}: x<0 e 2x^{2}−1>0 ⇒ f’<0.
• Em −1/\sqrt{2}<x<0: x<0 mas 2x^{2}−1<0 ⇒ f’>0.
• Em 0<x<1/\sqrt{2}: x>0 e 2x^{2}−1<0 ⇒ f’<0.
• Em x>1/\sqrt{2}: x>0 e 2x^{2}−1>0 ⇒ f’>0.
Logo f é decrescente em (−∞,−1/\sqrt{2}) e (0,1/\sqrt{2}) e crescente em (−1/\sqrt{2},0) e (1/\sqrt{2},∞).

Passo 4

Para o sinal de f(x), fatoramos
f(x)=x^2(x^2-1)=x^2(x-1)(x+1)
Os zeros são x=−1,0,1. Fazendo a tabela de sinais:
• Em x<−1: x^{2}>0, x-1<0, x+1<0 ⇒ f>0.
• Em −1<x<1 (exceto 0): x^{2}>0, um dos fatores (x-1) ou (x+1) é negativo ⇒ f<0.
• Em x>1: todos os fatores ≥0 ⇒ f>0.
No ponto x=0 há troca de sinal? Como x=0 tem multiplicidade 2, o sinal não troca, mas f(0)=0.

Passo 5

Com os sinais de f’ e f determinados, classificamos os extremos:
• Em x=−1/\sqrt{2}, f’ muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f(−1/\sqrt{2})=(1/4)−(1/2)=−1/4.
• Em x=0, f’ muda de positivo para negativo ⇒ máximo local com f(0)=0.
• Em x=1/\sqrt{2}, f’ muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local com f(1/\sqrt{2})=−1/4.
Para |x|→∞, f(x)→+∞, então não há outros extremos.

Passo 6

O esboço do gráfico se baseia nesses resultados. A função é par (simétrica em relação ao eixo y), tem zeros em x=−1,0,1; cai até x=−1/\sqrt{2}, sobe até x=0, cai até x=1/\sqrt{2} e depois cresce sem limite. Os mínimos locais em y=−1/4 nos pontos ±1/\sqrt{2} e o máximo local em (0,0) guiam o traçado.

Passo 7

Resposta

Sinal de f: f(x)>0 em (−∞,−1)∪(1,∞), f(x)=0 em x=−1,0,1, f(x)<0 em (−1,1). Crescimento e decrescimento: f é crescente em (−1/\sqrt{2},0)∪(1/\sqrt{2},∞) e decrescente em (−∞,−1/\sqrt{2})∪(0,1/\sqrt{2}). Extremos locais: mínimos em x=±1/\sqrt{2} com f=−1/4; máximo em x=0 com f=0.

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