Um subconjunto S do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos s in C que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
s0 in C, onde de0 está fixo e .

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e decidir se o conjunto
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um domínio (aberto e conexo). Aqui estamos trabalhando com topologia no plano complexo, onde domínio significa aberto e conexo.

Passo 2

O conjunto
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um disco de raio δ centrado em s₀ de onde removemos o ponto s₀. No esboço, desenhe um círculo de raio δ em torno de s₀ com borda tracejada e marque que o interior está todo sombreado, exceto o ponto s₀.

Passo 3

Para verificar que S é aberto, tome um ponto s ∈ S. Seja ρ = |s - s₀|, então 0 < ρ < δ. Escolhendo ε = min(ρ, δ - ρ) > 0, o disco de raio ε em torno de s fica contido em S, pois para todo z com |z - s| < ε temos 0 < |z - s₀| < δ. Portanto S é aberto.

Passo 4

Para verificar que S é conexo, note que no plano (ℝ²) remover um único ponto de um disco aberto não separa o conjunto. Dado qualquer par de pontos em S, podemos traçar um caminho contínuo que os conecta evitando s₀ (por exemplo, um arco leve em volta de s₀). Logo S é path-conexo e, portanto, conexo.

Passo 5

Como S é aberto e conexo, concluímos que S é de fato um domínio.

Resposta

O conjunto S é um domínio, pois é aberto e conexo.

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