Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
, onde
está fixo e
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e decidir se o conjunto
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um domínio (aberto e conexo). Aqui estamos trabalhando com topologia no plano complexo, onde domínio significa aberto e conexo.
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um domínio (aberto e conexo). Aqui estamos trabalhando com topologia no plano complexo, onde domínio significa aberto e conexo.
Passo 2
O conjunto
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um disco de raio δ centrado em s₀ de onde removemos o ponto s₀. No esboço, desenhe um círculo de raio δ em torno de s₀ com borda tracejada e marque que o interior está todo sombreado, exceto o ponto s₀.
S = { s ∈ ℂ | 0 < |s - s₀| < δ }
é um disco de raio δ centrado em s₀ de onde removemos o ponto s₀. No esboço, desenhe um círculo de raio δ em torno de s₀ com borda tracejada e marque que o interior está todo sombreado, exceto o ponto s₀.
Passo 3
Para verificar que S é aberto, tome um ponto s ∈ S. Seja ρ = |s - s₀|, então 0 < ρ < δ. Escolhendo ε = min(ρ, δ - ρ) > 0, o disco de raio ε em torno de s fica contido em S, pois para todo z com |z - s| < ε temos 0 < |z - s₀| < δ. Portanto S é aberto.
Passo 4
Para verificar que S é conexo, note que no plano (ℝ²) remover um único ponto de um disco aberto não separa o conjunto. Dado qualquer par de pontos em S, podemos traçar um caminho contínuo que os conecta evitando s₀ (por exemplo, um arco leve em volta de s₀). Logo S é path-conexo e, portanto, conexo.
Passo 5
Como S é aberto e conexo, concluímos que S é de fato um domínio.
Resposta
O conjunto S é um domínio, pois é aberto e conexo.