Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas. Use outras técnicas que você preferir, se preciso, e trace os gráficos.
y=(2 x+1)^8(x+1)

Passo 1

Aqui a ideia é analisar a função y=(2x+1)^8(x+1): primeiro vamos identificar zeros e estudar o sinal, depois derivar para achar monotonicidade.

Passo 2

Para achar os zeros notamos que (2x+1)^8=0 em x=-tfrac12 (multiplicidade 8, par) e x+1=0 em x=-1 (multiplicidade 1, ímpar). Pelo comportamento de raízes de multiplicidade par, em x=-tfrac12 a função toca o eixo sem trocar de sinal; em x=-1 ela cruza o eixo trocando de sinal. Assim: y é negativa em (-infty,-1), zero em x=-1, positiva em (-1,-tfrac12), zero em x=-tfrac12 e positiva em (-tfrac12,infty).

Passo 3

Para estudar monotonicidade aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Como y=(2x+1)^8cdot(x+1), então
y'=ddx[(2x+1)^8],(x+1)+(2x+1)^8cdot1

Passo 4

Calculando ddx[(2x+1)^8]=8(2x+1)^7cdot2=16(2x+1)^7, obtemos
y'=16(2x+1)^7(x+1)+(2x+1)^8=(2x+1)^7l(16(x+1)+(2x+1)r)

Passo 5

Simplificando o que está entre parênteses, 16(x+1)+(2x+1)=18x+17. Logo
y'=(2x+1)^7(18x+17)

Passo 6

Os pontos críticos vêm de 2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12 e 18x+17=0Rightarrow x=-tfrac1718.

Passo 7

Para o sinal de y' escolhemos pontos em cada intervalo:
  • Em x<-tfrac1718: 2x+1<0 e 18x+17<0 y'>0.
  • Em -tfrac1718: 2x+1<0 e 18x+17>0 y'<0.
  • Em x> -tfrac12: 2x+1>0 e 18x+17>0 y'>0.

Passo 8

Concluímos que a função cresce em (-infty,-tfrac1718) e em (-tfrac12,infty), e decresce em (-tfrac1718,-tfrac12). Além disso há um máximo local em x=-tfrac1718 e um mínimo local (tangência ao eixo) em x=-tfrac12.

Resposta

Sinal:
y<0 em (-∞,-1),
y=0 em x=-1,
y>0 em (-1,-1/2),
y=0 em x=-1/2,
y>0 em (-1/2,∞).
Monotonicidade:
Crescente em (-∞,-17/18) e (-1/2,∞),
Decrescente em (-17/18,-1/2).

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