Estude o sinal das seguintes funções. Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento das mesmas. Use outras técnicas que você preferir, se preciso, e trace os gráficos.
Passo 1
Aqui a ideia é analisar a função
: primeiro vamos identificar zeros e estudar o sinal, depois derivar para achar monotonicidade.
Passo 2
Para achar os zeros notamos que
em
(multiplicidade 8, par) e
em
(multiplicidade 1, ímpar). Pelo comportamento de raízes de multiplicidade par, em
a função toca o eixo sem trocar de sinal; em
ela cruza o eixo trocando de sinal. Assim: y é negativa em
, zero em
, positiva em
, zero em
e positiva em
.
Passo 3
Para estudar monotonicidade aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. Como
, então
Passo 4
Calculando
, obtemos
Passo 5
Simplificando o que está entre parênteses,
. Logo
Passo 6
Os pontos críticos vêm de
e
.
Passo 7
Para o sinal de
escolhemos pontos em cada intervalo:
- Em
: e → . - Em
: e → . - Em
: e → .
Passo 8
Concluímos que a função cresce em
e em
, e decresce em
. Além disso há um máximo local em
e um mínimo local (tangência ao eixo) em
.
Resposta
Sinal:
y<0 em (-∞,-1),
y=0 em x=-1,
y>0 em (-1,-1/2),
y=0 em x=-1/2,
y>0 em (-1/2,∞).
y<0 em (-∞,-1),
y=0 em x=-1,
y>0 em (-1,-1/2),
y=0 em x=-1/2,
y>0 em (-1/2,∞).
Monotonicidade:
Crescente em (-∞,-17/18) e (-1/2,∞),
Decrescente em (-17/18,-1/2).
Crescente em (-∞,-17/18) e (-1/2,∞),
Decrescente em (-17/18,-1/2).