Resolva os problemas de valor inicial
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Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
y′ = (y − x + 1)/(−x + y + 3), com y(1)=2. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem que sugere usar uma mudança de variável para simplificar a razão de funções de (y−x). Vamos precisar usar a substituição v = y − x e depois resolver uma equação separável.
Passo 2
Definimos v(x) = y(x) − x. Como y = v + x, a derivada é
Substituindo na equação original, o lado direito fica
logo
Então
Passo 3
Agora temos uma equação separável. Reescrevendo:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 para simplificar a constante:
sendo K uma constante arbitrária.
Passo 4
Voltamos à variável y usando v = y − x. Então a solução implícita é
Usamos a condição inicial y(1)=2, que dá v(1)=2−1=1. Substituindo x=1 e v=1:
Logo K = 11.
Passo 5
Com K = 11, a relação implícita fica
Expandindo e colocando em forma de equação quadrática em y:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Calculamos o discriminante:
Logo
Para ver qual ramo escolher, usamos y(1)=2:
Passo 7
Assim, a solução explícita que satisfaz y(1)=2 é
válida para x ≤ 5.
Passo 8
Finalizamos reconhecendo que esse ramo é o único que satisfaz a condição inicial no ponto dado. Mantemos o domínio onde a raiz está definida (5 − x ≥ 0).
Resposta
y(x) = x − 3 + 2\sqrt{5 − x}