Resolva os problemas de valor inicial
y^prime=y-x+1-x+y+3, y(1)=2.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
y′ = (y − x + 1)/(−x + y + 3), com y(1)=2. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem que sugere usar uma mudança de variável para simplificar a razão de funções de (y−x). Vamos precisar usar a substituição v = y − x e depois resolver uma equação separável.

Passo 2

Definimos v(x) = y(x) − x. Como y = v + x, a derivada é
dydx = dvdx + 1
Substituindo na equação original, o lado direito fica
y − x + 1−x + y + 3 = v + 1v + 3,
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dvdx + 1 = v + 1v + 3
Então
dvdx = v + 1v + 3 − 1 = v + 1 − (v + 3)v + 3 = −2v + 3

Passo 3

Agora temos uma equação separável. Reescrevendo:
(v + 3),dv = −2,dx
Integramos ambos os lados:
integral (v + 3),dv = integral (−2),dx implies v^22 + 3v = −2x + C
Multiplicando por 2 para simplificar a constante:
v^2 + 6v + 4x = K,
sendo K uma constante arbitrária.

Passo 4

Voltamos à variável y usando v = y − x. Então a solução implícita é
(y − x)^2 + 6(y − x) + 4x = K
Usamos a condição inicial y(1)=2, que dá v(1)=2−1=1. Substituindo x=1 e v=1:
1^2 + 6·1 + 4·1 = 1 + 6 + 4 = 11
Logo K = 11.

Passo 5

Com K = 11, a relação implícita fica
(y − x)^2 + 6(y − x) + 4x = 11
Expandindo e colocando em forma de equação quadrática em y:
y^2 − 2xy + x^2 + 6y − 6x + 4x − 11 = 0
y^2 + y(−2x + 6) + (x^2 − 2x − 11) = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 2x − 6 pm raiz(−2x + 6)^2 − 4(x^2 − 2x − 11)2

Passo 6

Calculamos o discriminante:
(−2x + 6)^2 = 4x^2 − 24x + 36,
4(x^2 − 2x − 11) = 4x^2 − 8x − 44,
De
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y = 2x − 6 pm 4raiz5 − x2 = x − 3 pm 2raiz5 − x
Para ver qual ramo escolher, usamos y(1)=2:
1 − 3 + 2raiz4 = −2 + 4 = 2 (com sinal +). O outro sinal daria y(1)=−6, que não satisfaz a condição inicial.

Passo 7

Assim, a solução explícita que satisfaz y(1)=2 é
y(x) = x − 3 + 2raiz5 − x,
válida para x ≤ 5.

Passo 8

Finalizamos reconhecendo que esse ramo é o único que satisfaz a condição inicial no ponto dado. Mantemos o domínio onde a raiz está definida (5 − x ≥ 0).

Resposta

y(x) = x − 3 + 2\sqrt{5 − x}

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