Mostre que a equação cos (pi x)+2 pi x=0 não pode ter mais que uma solução.
Se existissem duas soluções da equação, então a função derivável f(x)=cos (pi x)+ 2 pi x teria dois zeros, digamos f(a)=0 e f(b)=0, com a<b. Pelo Teorema de Rolle, existiria c in(a, b) tal que f^prime(c)=0. Porém, para todo x in R
sen pi x & <1 -pi sen pi x & >-pi f^prime(x)=-pi sen pi x+2 pi & >pi
uma contradição. Daí, se concluí que é falso que existam dois zeros.
Alternativamente, sem usar um argumento por contradição, pode-se argumentar que como f^prime(x)>pi>0 para todo x in R, f é estritamente crescente, injetiva, impossibilitando a existência de mais que um zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
cos(pi x)+2pi x=0
não pode ter mais de uma solução real.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas e monotonicidade de funções.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = cos(pi x) + 2pi x
Os zeros de f são exatamente as soluções da equação.

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Como ddxcos(pi x)=-pisin(pi x) e ddx(2pi x)=2pi, segue
f'(x) = -pi sin(pi x) + 2pi

Passo 4

Para todo xinR vale sin(pi x)<=1, logo
-pisin(pi x)>= -pi Longrightarrow f'(x) = -pisin(pi x) + 2pi >= -pi+2pi = pi > 0

Passo 5

Como f'(x)>!0 para todo x, a função f é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode ter no máximo um zero.

Resposta

A equação cos(pi x)+2pi x=0 admite no máximo uma solução real.

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