Mostre que a equação
não pode ter mais que uma solução.
Se existissem duas soluções da equação, então a função derivável
teria dois zeros, digamos
e
, com
. Pelo Teorema de Rolle, existiria
tal que
. Porém, para todo
uma contradição. Daí, se concluí que é falso que existam dois zeros.
Alternativamente, sem usar um argumento por contradição, pode-se argumentar que como
para todo
é estritamente crescente, injetiva, impossibilitando a existência de mais que um zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
não pode ter mais de uma solução real.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas e monotonicidade de funções.
não pode ter mais de uma solução real.
O conteúdo usado será cálculo de derivadas e monotonicidade de funções.
Passo 2
Definimos a função
Os zeros de
são exatamente as soluções da equação.
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Como
e
, segue
Passo 4
Para todo
vale
, logo
Passo 5
Como
para todo
, a função
é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode ter no máximo um zero.
Resposta
A equação
admite no máximo uma solução real.