Em que ponto a curva f(x)=arctg x tem reta tangente paralela à reta tangente à curva g(x)=ln (sec x) em x=pi4 ?

Passo 1

O enunciado pede o ponto da curva f(x)=arctgx cuja reta tangente é paralela à reta tangente de g(x)=ln(sec x) no ponto em que x=pi4. Para isso precisamos calcular a inclinação da tangente a g em x=pi4 e igualá-la à derivada de f, depois achar o x0 correspondente e seu ponto em (x0,f(x0)).

Passo 2

Calculemos a derivada de g.
Para g(x)=ln(sec x), pela regra da cadeia e sabendo que ddxl(sec xr)=sec xtan x, temos
g'(x)=1sec xcdot(sec xtan x)=tan x

Passo 3

Avalie g' em x=pi4:
g'!l(tfracpi4r)=tan!l(tfracpi4r)=1
Logo a inclinação da tangente a g nesse ponto é 1.

Passo 4

Agora calculemos a derivada de f.
Para f(x)=arctgx sabe-se que
f'(x)=11+x^2

Passo 5

Queremos f'(x0)=g'(tfracpi4)=1. Logo
11+x0^2=1 Longrightarrow 1+x0^2=1 Longrightarrow x0^2=0 Longrightarrow x0=0

Passo 6

O ponto pedido na curva de f é l(x0,f(x0)r). Como x0=0 e f(0)=arctg0=0, o ponto é
(0,0)

Resposta

O ponto é (0,0).

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