Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=3 x^{2 / 3}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função
f(x)=3x^{2/3}-2x,
isto é, determinar onde f é crescente ou decrescente e encontrar pontos críticos e extremos locais.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2/3}\bigr)=\tfrac{2}{3}\,x^{-1/3},
vem
f'(x)=3\cdot\tfrac{2}{3}\,x^{-1/3}-2 =2x^{-1/3}-2 =\frac{2}{x^{1/3}}-2.

Passo 3

Identificamos os pontos críticos, onde f'(x)=0 ou f' não está definida:
1. f'(x)=0
\frac{2}{x^{1/3}}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{x^{1/3}}=2 \quad\Longrightarrow\quad x^{1/3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
2. f' não está definida em x=0 porque x^{1/3} aparece no denominador.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=\frac{2}{x^{1/3}}-2 em cada intervalo:
  • Para x<0, temos x^{1/3}<0, logo \frac{2}{x^{1/3}}<0 e \frac{2}{x^{1/3}}-2<0.
  • Para 0<x<1, tem 0<x^{1/3}<1, então \frac{2}{x^{1/3}}>2 e f'(x)>0.
  • Para x>1, temos x^{1/3}>1, logo \frac{2}{x^{1/3}}<2 e f'(x)<0.

Passo 5

Com base no sinal de f'(x):
  • f é decrescente em (-\infty,0), pois f'(x)<0.
  • f é crescente em (0,1), pois f'(x)>0.
  • f é decrescente em (1,\infty), pois f'(x)<0.
Em x=0 ocorre uma descontinuidade da derivada e f(0)=0. Como f decresce até 0 e depois cresce, x=0 é mínimo local.
Em x=1 temos f(1)=3\cdot1^{2/3}-2\cdot1=1, e como f cresce antes de 1 e decresce depois, x=1 é máximo local.

Resposta

A variação de f é:
  • decrescente em (-\infty,0),
  • crescente em (0,1),
  • decrescente em (1,\infty).
    Há mínimo local em x=0 com f(0)=0 e máximo local em x=1 com f(1)=1.

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