Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função f(x)=x\ln(x). O conteúdo envolve determinar o domínio, calcular a derivada, encontrar pontos críticos e usar o sinal de f'(x) para decidir onde a função cresce ou decresce.

Passo 2

O domínio de f vem de \ln(x), que exige x>0. Logo, f está definida em (0,\infty). Nesse intervalo, tanto x quanto \ln(x) são diferenciáveis, de modo que f também é diferenciável em (0,\infty).

Passo 3

Aplicando a regra do produto para derivar f(x)=x\ln(x), temos:
f'(x) = (x)' \,\ln(x) + x \,\bigl(\ln(x)\bigr)' = 1\cdot\ln(x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(x) + 1.

Passo 4

Para encontrar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
\ln(x) + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x) = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-1} = \tfrac{1}{e}.

Passo 5

Estudamos o sinal de f'(x)=\ln(x)+1:
  • Se 0 < x < \tfrac{1}{e}, então \ln(x)<-1 e f'(x)<0, logo f é decrescente em \bigl(0,\tfrac{1}{e}\bigr).
  • Se x > \tfrac{1}{e}, então \ln(x)>-1 e f'(x)>0, logo f é crescente em \bigl(\tfrac{1}{e},\infty\bigr).

Passo 6

Como f' muda de negativo para positivo em x=\tfrac{1}{e}, esse ponto é um mínimo local. O valor mínimo é
f\bigl(\tfrac{1}{e}\bigr) = \tfrac{1}{e}\,\ln\bigl(\tfrac{1}{e}\bigr) = \tfrac{1}{e}\,(-1) = -\tfrac{1}{e}.

Resposta

f é decrescente em \bigl(0,\tfrac{1}{e}\bigr), crescente em \bigl(\tfrac{1}{e},\infty\bigr) e apresenta mínimo local em \bigl(\tfrac{1}{e}, -\tfrac{1}{e}\bigr).

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