Estude a variação das funções abaixo:
f(x)=(x-8)^{3}(x-6)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função
f(x) = (x-8)^{3}\,(x-6)^{4}.
O que precisamos fazer é encontrar f'(x), achar seus zeros e analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo para concluir onde f cresce ou decresce e identificar extremos.

Passo 2

Vamos derivar usando a regra do produto. Escrevendo
u(x) = (x-8)^{3},\quad v(x) = (x-6)^{4},
temos
u'(x) = 3\,(x-8)^{2},\quad v'(x) = 4\,(x-6)^{3}.
Logo
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 3\,(x-8)^{2}\,(x-6)^{4} \;+\; 4\,(x-8)^{3}\,(x-6)^{3}.

Passo 3

Fatoramos em comum (x-8)^{2}(x-6)^{3}:
f'(x) = (x-8)^{2}(x-6)^{3}\Bigl[3(x-6) + 4(x-8)\Bigr] = (x-8)^{2}(x-6)^{3}\,(7x - 50).
Os zeros de f' são
x = 8\;(\text{mult. 2}),\quad x = 6\;(\text{mult. 3}),\quad x = \frac{50}{7}\;(\text{mult. 1}).

Passo 4

Para analisar o sinal de f'(x) basta olhar os fatores de sinal variável: (x-6)^{3} e (7x-50).
1. Se x<6, então x-6<0 e 7x-50<0 (pois 6<50/7), logo (x-6)^{3}<0 e (7x-50)<0, e o produto é positivo.
2. Se 6<x<50/7, então (x-6)^{3}>0 mas (7x-50)<0, produto negativo.
3. Se 50/7<x, então (x-6)^{3}>0 e (7x-50)>0, produto positivo.
O fator (x-8)^{2} é sempre não-negativo e não altera o sinal.

Passo 5

Concluímos a monotonicidade:
  • f'(x)>0 em (- \infty,6), então f cresce nesse intervalo.
  • f'(x)<0 em \bigl(6,\frac{50}{7}\bigr), então f decresce aí.
  • f'(x)>0 em \bigl(\frac{50}{7},\infty\bigr), então f cresce para x>\frac{50}{7}.
    Em x=6 muda de crescente para decrescente, logo há um máximo local.
    Em x=\frac{50}{7} muda de decrescente para crescente, logo há um mínimo local.
    Em x=8 f'(8)=0 mas não há mudança de sinal (multiplicidade 2), portanto não é extremo.

Passo 6

Calculando os valores:
f(6) = (6-8)^{3}(6-6)^{4} = (-2)^{3}\cdot0 = 0,
f\bigl(50/7\bigr) = \Bigl(\tfrac{50}{7}-8\Bigr)^{3}\Bigl(\tfrac{50}{7}-6\Bigr)^{4} = \Bigl(-\tfrac{6}{7}\Bigr)^{3}\Bigl(\tfrac{8}{7}\Bigr)^{4} = -\frac{216}{343}\,\frac{4096}{2401} = -\frac{884736}{823543}.

Resposta

f é crescente em (-\infty,6), decrescente em \bigl(6,50/7\bigr) e crescente em \bigl(50/7,\infty\bigr).
Máximo local em x=6 com f(6)=0.
Mínimo local em x=50/7 com
f\bigl(\tfrac{50}{7}\bigr) = -\tfrac{884736}{823543}.
Ponto crítico em x=8 sem extremo.

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