Estude a variação das seguintes funções reais:
Passo 1
Beleza, vamos estudar a variação dessa função real aqui: $ h(x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} $. Isso significa que vamos analisar como essa função se comporta à medida que $ x $ muda. Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas, que nos ajudam a descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo, e também identificar possíveis assíntotas ou pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função $ h(x) $. O domínio são todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Observando a função, vemos que o denominador não pode ser zero, então:
Sabemos que $ \tan x = 1 $ quando $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro. Portanto, o domínio de $ h(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de $ h(x) $ para estudar onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada $ h’(x) $. Sabemos que $ \sec^2 x $ é sempre positivo, já que é o quadrado da secante. Além disso, o denominador $ (1 - \tan x)^2 $ também é sempre positivo, exceto onde a função não está definida. Portanto, $ h’(x) $ é sempre positivo no domínio de $ h(x) $.
Passo 5
Como a derivada é sempre positiva, isso significa que a função $ h(x) $ está sempre aumentando no seu domínio. Não há máximos ou mínimos locais, apenas um crescimento contínuo.
Passo 6
Vamos verificar as assíntotas da função. Sabemos que a função não está definida em $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $, o que indica a presença de assíntotas verticais nesses pontos.
Passo 7
Por fim, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima das assíntotas verticais e quando $ x $ tende a mais ou menos infinito, se aplicável. No entanto, como $ \tan x $ tem período $ \pi $, a função $ h(x) $ também terá um comportamento periódico com assíntotas verticais repetindo a cada $ \pi $ unidades.
Resposta
A função $ h(x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} $ está definida para todos os números reais exceto $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi $ onde há assíntotas verticais. A função é sempre crescente no seu domínio devido à sua derivada positiva em todos os intervalos definidos.