Seja f: R R tal que x sin (x)+1 <= f(x) <= x^2+1, para todo x in R. Considere as seguintes afirmações:
(I) f(0)=1.
(III) lim x 0 f(x)=f(0).
(II) lim x 0 f(x)-1x^2=1.
(IV) lim x 0 f(x)-f(0)x-0=0
São verdadeiras as seguintes afirmações:
( ) todas.
( ) somente (I) e (IV).
( ) somente (I), (II) e (III).
( ) somente (I) e (III).
( ) somente (I), (III) e (IV).
( ) nenhuma

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que está limitada abaixo por $ x \sin(x) + 1 $ e acima por $ x^2 + 1 $ para todo número real $ x $. O objetivo é verificar quais das afirmações (I) a (IV) são verdadeiras com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ f(0) $. Substituindo $ x = 0 $ nas desigualdades dadas:
f(0)
Simplificando:
x = 0
Isso significa que $ f(0) = 1 $. Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) $.
Sabemos que:
f(x)
Quando $ x $ se aproxima de 0, tanto $ x \sin(x) $ quanto $ x^2 $ vão para 0. Assim:
x
Pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche), temos:
limx 0 f(x)
Como $ f(0) = 1 $, isso confirma que $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) $. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular o limite $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - 1}{x^2} $.
Usando as desigualdades:
limx 0 f(x) - 1x^2
Subtraindo 1 de todas as partes:
x sin(x) + 1 <= f(x) <= x^2 + 1
Dividindo por $ x^2 $ (como $ x $ está próximo de 0 e diferente de 0):
x sin(x) <= f(x) - 1 <= x^2
Sabemos que $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $. Então:
x^2
Logo, pelo Teorema do Aperto:
x
Isso confirma que a afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Por último, vamos avaliar o limite $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} $, que é a definição da derivada de $ f $ em 0, ou seja, $ f’(0) $.
Já sabemos que $ f(0) = 1 $ e $ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 $. Vamos calcular:
limx 0 f(x) - f(0)x - 0
Sabendo que $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - 1}{x^2} = 1 $, podemos reescrever:
f
Quando $ x $ se aproxima de 0, $ x $ também se aproxima de 0 e $ \frac{f(x) - 1}{x^2} $ se aproxima de 1. Portanto:
f'(0)
Isso confirma que a afirmação IV é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmações (I), (II), (III) e (IV) são verdadeiras.

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