O enunciado pede para estudar a variação do sinal de duas funções reais, ou seja, determinar em que intervalos elas são positivas, nulas ou negativas. Para isso precisamos:
Identificar o domínio de cada função.
Encontrar os pontos onde a função se anula (raízes do numerador ou fatores).
Usar o sinal dos fatores (ou numerador e denominador) para montar o quadro de sinais, aplicando as regras de produto e quociente.
Passo 2
Considerando :
O domínio é todo , pois não há denominador nem raiz par.
As raízes vêm de
que dá ou .
Para analisar o sinal, observamos cada fator: muda de sinal em (negativo para , positivo para ); muda de sinal em (negativo para , positivo para ).
Como o produto de fatores segue a regra “par de sinais iguais dá positivo, sinais diferentes dá negativo”, fazemos o quadro:
Passo 3
Do quadro de sinais para concluímos:
Passo 4
Considerando f(x)=dfrac3x-1x^2+1:
O domínio é todo R, pois x^2+1>0 para todo x.
A única raiz vem do numerador 3x-1=0, ou seja x=tfrac13.
O denominador x^2+1 é sempre positivo, então o sinal de f(x) é igual ao sinal de 3x-1: negativo para x<tfrac13, zero em x=tfrac13 e positivo para x>tfrac13.