Estude a variação do sinal de f(x).
a) f(x)=(x-1)(x+2)
b) f(x)=3 x-1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação do sinal de duas funções reais, ou seja, determinar em que intervalos elas são positivas, nulas ou negativas. Para isso precisamos:
  1. Identificar o domínio de cada função.
  2. Encontrar os pontos onde a função se anula (raízes do numerador ou fatores).
  3. Usar o sinal dos fatores (ou numerador e denominador) para montar o quadro de sinais, aplicando as regras de produto e quociente.

Passo 2

Considerando f(x)=(x-1)(x+2):
  • O domínio é todo R, pois não há denominador nem raiz par.
  • As raízes vêm de
(x-1)(x+2)=0
que dá x=1 ou x=-2.
  • Para analisar o sinal, observamos cada fator:
    ,x-1 muda de sinal em x=1 (negativo para x<1, positivo para x>1);
    ,x+2 muda de sinal em x=-2 (negativo para x<-2, positivo para x>-2).
  • Como o produto de fatores segue a regra “par de sinais iguais dá positivo, sinais diferentes dá negativo”, fazemos o quadro:

Passo 3

Do quadro de sinais para (x-1)(x+2) concluímos:
f(x)>0 &se xin(-infty,-2)cup(1,infty), f(x)=0 &se x=-2 ou x=1, f(x)<0 &se xin(-2,1)

Passo 4

Considerando f(x)=dfrac3x-1x^2+1:
  • O domínio é todo R, pois x^2+1>0 para todo x.
  • A única raiz vem do numerador 3x-1=0, ou seja x=tfrac13.
  • O denominador x^2+1 é sempre positivo, então o sinal de f(x) é igual ao sinal de 3x-1: negativo para x<tfrac13, zero em x=tfrac13 e positivo para x>tfrac13.

Passo 5

Da análise de sinal do quociente concluímos:
f(x)>0 &se xinl(tfrac13,inftyr), f(x)=0 &se x=tfrac13, f(x)<0 &se xinl(-infty,tfrac13r)

Resposta

a)
f(x)>0 ¶ xin(-infty,-2)cup(1,infty), f(x)=0 &em x=-2 ou x=1, f(x)<0 ¶ xin(-2,1)
b)
f(x)>0 ¶ xinl(tfrac13,inftyr), f(x)=0 &em x=tfrac13, f(x)<0 ¶ xinl(-infty,tfrac13r)

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