Três funções
,
e
são consideradas linearmente dependentes de um intervalo
se, em
, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se
]. De modo equivalente (compare com o Problema 33),
e
são linearmente dependentes de
se houver constantes
e
, não todas zero, tais que
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
:
.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em
Passo 1
O enunciado nos dá três funções em
:
e pede para determinar se elas são linearmente dependentes ou independentes nesse intervalo. Vamos usar a definição de dependência linear de funções.
Passo 2
Três funções
são linearmente dependentes em
se existem constantes
, não todas zero, tais que
para todo
.
Passo 3
Observamos a identidade conhecida
Reescrevendo,
Isso mostra que, escolhendo
,
e
, temos
para todo
.
Passo 4
Como encontramos constantes
, não todas zero, que fazem a combinação linear nula, concluímos que as funções são linearmente dependentes em
.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente dependentes em
.