Três funções y1(t), y2(t) e y3(t) são consideradas linearmente dependentes de um intervalo I se, em I, pelo menos uma dessas funções for uma combinação linear das duas restantes [por exemplo, se y1(t) =c1 y2(t)+c2 y3(t)]. De modo equivalente (compare com o Problema 33), y1, y2 e y3 são linearmente dependentes de I se houver constantes C1, C2 e C3, não todas zero, tais que
C1 y1(t)+C2 y2(t)+C3 y3(t)=0 para todo t em I
Caso contrário, dizemos que essas funções são linearmente independentes em I.
Para cada um dos seguintes, determine se as três funções dadas são linearmente dependentes ou independentes em (-infty, infty) :
y1(t)=e^t, y2(t)=e^-t, y3(t)=cosh t.

Passo 1

O enunciado nos dá três funções em (-infty,infty):
y1(t)=e^t, y2(t)=e^-t, y3(t)=cosh t
e pede para determinar se elas são linearmente dependentes ou independentes nesse intervalo. Vamos usar a definição de dependência linear de funções.

Passo 2

Três funções y1,y2,y3 são linearmente dependentes em I se existem constantes C1,C2,C3, não todas zero, tais que
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t)=0
para todo tin I.

Passo 3

Observamos a identidade conhecida
cosh t=e^t+e^-t2
Reescrevendo,
cosh t-12,e^t-12,e^-t=0
Isso mostra que, escolhendo C1=-tfrac12, C2=-tfrac12 e C3=1, temos
C1y1(t)+C2y2(t)+C3y3(t) =l(-tfrac12r)e^t+l(-tfrac12r)e^-t+1cdotcosh t =0
para todo t.

Passo 4

Como encontramos constantes C1,C2,C3, não todas zero, que fazem a combinação linear nula, concluímos que as funções são linearmente dependentes em (-infty,infty).

Resposta

As funções y1(t)=e^t, y2(t)=e^-t e y3(t)=cosh t são linearmente dependentes em (-infty,infty).

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