El estudio de rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de dólares produce una ganancia de f(x) millones de dólares, siendo:
f(x)=ccc 150 x^2+825 x-85 & si & 0 <= x <= 5 52 x & si & x>5
Calcula el valor de la inversión que produce ganancia nula

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar o valor do investimento $ x $ (em milhões de dólares) que resulta em uma ganância nula, ou seja, onde o lucro $ f(x) = 0 $. Estamos lidando com uma função por partes, o que significa que a função $ f(x) $ tem diferentes expressões dependendo do valor de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender como resolver equações quadráticas.
  • Aplicar os intervalos dados para cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ para o intervalo $ 0 \leq x \leq 5 $. Nesse intervalo, a função é definida por:
f(x)
Queremos encontrar o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $.

Passo 3

Para resolver a equação quadrática:
150x^2 + 825x - 85 = 0
Vamos primeiro eliminar as frações multiplicando todos os termos por 50:
x^2 + 16x - 80 = 0

Passo 4

Agora, temos a equação simplificada:
x^2 + 16x - 80 = 0
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
a = 1, b = 16, c = -80

Passo 5

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como $ \Delta = 576 $ é maior que 0, temos duas soluções reais.

Passo 6

Calculando as soluções:
x = -16 pm raiz5762 = -16 pm 242
Então, as soluções são:
x = 82 = 4
x = -402 = -20

Passo 7

Considerando o intervalo $ 0 \leq x \leq 5 $, apenas $ x = 4 $ está dentro desse intervalo. Portanto, $ x = 4 $ milhões de dólares é uma solução válida.

Passo 8

Agora, vamos verificar a outra parte da função para $ x > 5 $:
x > 5
Queremos que $ f(x) = 0 $:
f(x) = 52x
No entanto, essa equação nunca é verdadeira porque a fração $ \frac{5}{2x} $ nunca será zero para nenhum valor de $ x > 0 $.

Resposta

O valor do investimento que produz ganância nula é 4 milhões de dólares.

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