El estudio de rentabilidad de una empresa revela que una inversión de
millones de dólares produce una ganancia de
millones de dólares, siendo:
Calcula el valor de la inversión que produce ganancia nula
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar o valor do investimento $ x $ (em milhões de dólares) que resulta em uma ganância nula, ou seja, onde o lucro $ f(x) = 0 $. Estamos lidando com uma função por partes, o que significa que a função $ f(x) $ tem diferentes expressões dependendo do valor de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender como resolver equações quadráticas.
- Aplicar os intervalos dados para cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ f(x) $ para o intervalo $ 0 \leq x \leq 5 $. Nesse intervalo, a função é definida por:
Queremos encontrar o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $.
Passo 3
Para resolver a equação quadrática:
Vamos primeiro eliminar as frações multiplicando todos os termos por 50:
Passo 4
Agora, temos a equação simplificada:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Passo 5
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como $ \Delta = 576 $ é maior que 0, temos duas soluções reais.
Passo 6
Calculando as soluções:
Então, as soluções são:
Passo 7
Considerando o intervalo $ 0 \leq x \leq 5 $, apenas $ x = 4 $ está dentro desse intervalo. Portanto, $ x = 4 $ milhões de dólares é uma solução válida.
Passo 8
Agora, vamos verificar a outra parte da função para $ x > 5 $:
Queremos que $ f(x) = 0 $:
No entanto, essa equação nunca é verdadeira porque a fração $ \frac{5}{2x} $ nunca será zero para nenhum valor de $ x > 0 $.
Resposta
O valor do investimento que produz ganância nula é 4 milhões de dólares.