Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r=1-2 sen theta

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Vamos esboçar a curva polar dada por r = 1 − 2 sen θ. O que precisamos: entender o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas e usar essa análise para montar o esboço polar.

Passo 2

Esboço de r(θ): Reconhecemos que r(θ) = 1 − 2 sen θ é uma senoide de amplitude 2, deslocada para cima em 1 e com período 2π. Em coordenadas cartesianas, o eixo horizontal é θ ∈ [0,2π] e o vertical é r.

Passo 3

Identificação dos zeros de r: Resolvendo 1 − 2 sen θ = 0 obtemos sen θ = 1/2 ⇒ θ = π/6 e θ = 5π/6. Nesses ângulos, r muda de sinal.

Passo 4

Determinação dos intervalos de sinal de r: Para θ ∈ [0,π/6] e [5π/6,2π] temos r ≥ 0. Para θ ∈ (π/6,5π/6) temos r < 0. Isso indica que entre π/6 e 5π/6 o ponto polar é plotado no sentido oposto ao ângulo θ.

Passo 5

Cálculo de pontos notáveis:
— Em θ = 0, r = 1
— Em θ = π/2, r = 1 − 2·1 = −1
— Em θ = π, r = 1 − 2·0 = 1
— Em θ = 3π/2, r = 1 − 2·(−1) = 3
— Em θ = 2π, r = 1

Passo 6

Esboço polar da curva:
— Para θ de 0 até π/6 traçamos o ramo externo partindo de r=1 até chegar à origem.
— Entre π/6 e 5π/6 r<0 gera a alça interna, desenhada invertendo 180° (reflexão).
— De 5π/6 a 2π r volta a ser positivo e forma o ramo externo maior, atingindo r=3 em θ=3π/2 e retornando a r=1 em 2π.
— A curva resultante é um limão (limacon) com alça interna, simétrico em relação ao eixo vertical (θ=π/2).

Resposta

A curva é um limacon com alça interna (pois |2|>1), simétrico em relação ao eixo vertical, com zeros em θ=π/6 e 5π/6, ramo externo máximo r=3 em θ=3π/2.

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