A soma de três termos consecutivus de uma PG é 52 , se adicionamos 8 ao termo intermediário, os três passam a ser termos consecutivos de uma P.A. Quais são os três termos? (2, 5 v):

Passo 1

O enunciado diz que a soma de três termos consecutivos de uma PG é 52 e que, ao adicionarmos 8 ao termo do meio, os três passam a ser termos consecutivos de uma PA. Vamos usar conceitos de progressão geométrica (PG) e progressão aritmética (PA) para formular as equações.

Passo 2

Denotando os termos da PG por a, ar e ar², a condição da soma vira:
a(1 + r + r^2) = 52

Passo 3

Para que a, ar+8 e ar² sejam termos consecutivos de uma PA, a diferença entre o segundo e o primeiro deve igualar a diferença entre o terceiro e o segundo. Montamos:
(ar + 8) - a = ar^2 - (ar + 8)
Simplificando essa igualdade, chegamos a:
a(r - 1)^2 = 16

Passo 4

Agora temos o sistema de equações:
a(1 + r + r^2) = 52
a(r - 1)^2 = 16

Passo 5

Isolamos a em função de r na segunda equação:
a = 16(r - 1)^2
e substituímos na primeira:
16(r - 1)^2(1 + r + r^2) = 52

Passo 6

Multiplicando ambos os lados e simplificando, obtemos a equação em r:
3r^2 - 10r + 3 = 0
cuja solução é
r = 3 ou r = tfrac13.

Passo 7

Para r = 3, temos a = 16/(3 - 1)² = 4, logo os termos são 4, 12 e 36.

Passo 8

Para r = 1/3, temos a = 16/(1/3 - 1)² = 36, logo os termos são 36, 12 e 4.

Resposta

Os três termos são 4, 12 e 36 (PG crescente) ou 36, 12 e 4 (PG decrescente).

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