• Estudo de caso: considere um canal convergente pelo qual escoa um fluido incompressível, cuja velocidade na entrada é uniforme e igual a 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a velocidade na saída, também uniforme, é igual a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A coordenada de dimensão na entrada é de 4 m e a de saída é 2 m (diâmetro). O comprimento do canal é de 5 m . Considerando o escoamento ao longo de uma linha:
    (a) Demonstre que esta situação satisfaz a equação da continuidade.
    (b) Elabore uma representação para o campo de velocidade total e as componentes u e v.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas (vou listar tudo bem certinho para a gente não se perder):
  • Velocidade uniforme na entrada: \;U_1=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade uniforme na saída: \;U_2=4\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro na entrada: \;D_1=4\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro na saída: \;D_2=2\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do canal: \;L=5\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado diz que as coordenadas de dimensão dadas são diâmetros (ou seja, temos um tubo circular que converte do diâmetro 4 para 2).
    Perguntas do exercício:
    (a) Demonstrar que a situação satisfaz a equação da continuidade.
    (b) Elaborar uma representação para o campo de velocidade total e para as componentes u e v.
    Observação: vou considerar um escoamento estacionário, incompressível e axisimétrico ao longo do eixo x do tubo (com coordenada radial r). Essa escolha é natural dada a menção a diâmetros e às velocidades uniformes nas seções.

Passo 2

Explicando o que é a equação da continuidade (aula rápida, sem medo): para um fluido incompressível e escoamento estacionário, o débito volumétrico Q é constante ao longo do tubo. Em palavras: o que entra por segundo tem que sair por segundo. Matematicamente, numa seção transversal circular, o débito é
Q = A\,U,
onde A é a área da seção transversal e U é a velocidade média (aqui, uniforme) nessa seção. Para uma seção circular de diâmetro D temos
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.

Passo 3

Aplicando isso às seções dadas (dados pegos do enunciado): calculemos A_1, A_2 e os respectivos débitos Q_1, Q_2.
Cálculo de áreas:
A_1=\frac{\pi D_1^{2}}{4}=\frac{\pi\,(4)^{2}}{4}=\pi\cdot 4=4\pi,
A_2=\frac{\pi D_2^{2}}{4}=\frac{\pi\,(2)^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 4}{4}=\pi.
Agora os débitos (velocidade uniforme em cada seção, então Q_i=A_i U_i):
Q_1=A_1 U_1=(4\pi)\cdot 1 = 4\pi\\ \mathrm{m^{3}/s},
Q_2=A_2 U_2=(\pi)\cdot 4 = 4\pi\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Portanto Q_1=Q_2=4\pi. Conclusão: os dados numéricos obedecem exatamente à conservação de massa (continuidade). Isso responde (a).

Passo 4

Agora parte (b): representar o campo de velocidade. Primeiro definimos coordenadas e hipóteses explícitas e simples que permitem construir um campo contínuo entre entrada e saída. Definições e hipóteses (explicadas devagar):
  • Escolho eixo axial x ao longo do tubo (origem em x=0 na entrada, x=L=5 na saída).
  • Coordenada radial r medida a partir do eixo do tubo; o raio do tubo varia linearmente de R_1=D_1/2=2\\ \mathrm{m} em x=0 até R_2=D_2/2=1\\ \mathrm{m} em x=5. Então definimos:
R(x)=R_1+\frac{R_2-R_1}{L}\,x = 2 + \frac{1-2}{5}\,x = 2 - \frac{x}{5}.
  • Assumo que, para cada seção x= constante, o perfil axial de velocidade é aproximadamente uniforme (perfil plug), compatível com os dados que dizem velocidade uniforme nas seções extremas. Essa é uma hipótese simples e comum para construir um campo fácil de manipular e que respeita continuidade. Dito isso, para garantir a continuidade local (equação diferencial), teremos que permitir uma componente radial v(r,x) não nula que representa a convergência do fluido.

Passo 5

Escrevendo o débito Q em termos da função U(x) (velocidade axial uniforme em cada seção):
Q = U(x)\,A(x) = U(x)\,\pi R(x)^{2}.
Do passo 3 sabemos que Q=4\pi. Logo
U(x)=\frac{Q}{\pi R(x)^{2}}=\frac{4\pi}{\pi R(x)^{2}}=\frac{4}{R(x)^{2}}.
Esta é a expressão da componente axial do campo de velocidade (função somente de x). Observação: em x=0, R(0)=2 e U(0)=4/4=1; em x=5, R(5)=1 e U(5)=4/1=4, como mandam os dados.

Passo 6

Agora obtenha a componente radial v(r,x) usando a equação diferencial de continuidade em coordenadas cilíndricas (escolha natural para um tubo circular). A forma da continuidade (escoamento estacionário e axisimétrico, sem dependência azimutal) é:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v\big)+\frac{\partial u}{\partial x}=0,
onde u(x,r) é a componente axial e v(x,r) a componente radial (estou chamando axial de u e radial de v para responder exatamente ao pedido de componentes u e v). Sob a hipótese de perfil plug temos u(x,r)=U(x) independente de r. Então \partial u/\partial x = \dfrac{dU}{dx} e a equação fica
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\,v\big) + \frac{dU}{dx}=0.
Integramos em r. Uma solução regular em r=0 é da forma v(r,x)=f(x)\,r. Substituindo:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot f(x) r\big) = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(f(x) r^{2}\big) = \frac{1}{r}\cdot 2 f(x) r = 2 f(x).
Portanto a continuidade dá
2 f(x) + \frac{dU}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad f(x)=-\frac{1}{2}\frac{dU}{dx}.
Logo
v(r,x) = -\frac{r}{2}\frac{dU}{dx}.

Passo 7

Calcule explicitamente \dfrac{dU}{dx} usando U(x)=\dfrac{4}{R(x)^{2}} e R(x)=2-\dfrac{x}{5}.
Primeiro a derivada de R(x):
\frac{dR}{dx}=-\frac{1}{5}.
Agora U(x)=4\,R(x)^{-2}. Pela regra da cadeia:
\frac{dU}{dx}=4\cdot (-2) R(x)^{-3}\frac{dR}{dx} = -8 R(x)^{-3}\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{8}{5}\,R(x)^{-3}.
Portanto
\frac{dU}{dx}=\frac{8}{5\,R(x)^{3}}.
Substituindo em v:
v(r,x) = -\frac{r}{2}\cdot \frac{8}{5\,R(x)^{3}} = -\frac{4\,r}{5\,R(x)^{3}}.

Passo 8

Verificação rápida de condição de não-penetração na parede (checar que conseguimos um campo físico): na parede r=R(x) a velocidade radial devemos ter compatibilidade com a inclinação da parede (a componente normal do fluido em parede estacionária deve ser zero). O lado direito é:
v(R(x),x) = -\frac{4\,R(x)}{5\,R(x)^{3}} = -\frac{4}{5\,R(x)^{2}}.
O produto U(x)\,dR/dx é
U(x)\frac{dR}{dx}=\frac{4}{R(x)^{2}}\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{4}{5\,R(x)^{2}},
que é exatamente igual a v(R(x),x). Isso mostra que a componente de velocidade resultante é tangente à parede (não há penetração) — ótimo, o campo é consistente.

Passo 9

Juntando tudo: escrevemos o campo de velocidade total em componentes cilíndricas (axial e radial), e também explicito o vetor velocidade.
  • Raio local:
R(x)=2-\frac{x}{5},\qquad 0\le x\le 5.
  • Débito constante (usado acima, do passo (a)):
Q=4\pi\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Componente axial (que chamamos de u):
u(x,r)=U(x)=\frac{4}{R(x)^{2}}.
  • Componente radial (que chamamos de v):
v(x,r)=-\frac{4\,r}{5\,R(x)^{3}}.
  • Campo velocidade vetorial (em componentes cilíndricas):
\mathbf{V}(x,r)=u(x,r)\,\mathbf{e}_{x}+v(x,r)\,\mathbf{e}_{r} =\frac{4}{R(x)^{2}}\mathbf{e}_{x}-\frac{4\,r}{5\,R(x)^{3}}\mathbf{e}_{r}.
Essas expressões satisfazem continuidade, respeitam as velocidades médias dadas nas seções e a condição de não-penetração na parede.

Resposta

(a) Sim. A_1=\dfrac{\pi D_1^2}{4}=4\pi,\\ A_2=\dfrac{\pi D_2^2}{4}=\pi. Logo Q_1=A_1U_1=(4\pi)\cdot1=4\pi e Q_2=A_2U_2=\pi\cdot4=4\pi. Assim Q_1=Q_2 — a continuidade é satisfeita.
(b) Com R(x)=2-\dfrac{x}{5}:
u(x,r)=\dfrac{4}{R(x)^{2}},
v(x,r)=-\dfrac{4\,r}{5\,R(x)^{3}},
ou em forma vetorial
\displaystyle \mathbf{V}(x,r)=\frac{4}{R(x)^{2}}\mathbf{e}_{x}-\frac{4\,r}{5\,R(x)^{3}}\mathbf{e}_{r}.

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