Um estudo do Centro para Estatísticas da Saúde forneceu uma estimativa por ponto de 25,5 % para o percentual de pessoas que eram, no momento, fumantes. O tamanho da amostra foi de 42.000. Assumindo que esta amostra tem a característica de uma amostra aleatória, construa e interprete um intervalo de 99 % de confiança para a proporção da população que é fumante.

Passo 1

O enunciado fornece uma estimativa pontual de hat p=0,255 para a proporção de fumantes numa população, obtida em uma amostra aleatória de tamanho n=42000. Queremos construir um intervalo de confiança de 99% para a proporção real p. Para isso, vamos usar a aproximação normal para proporções.

Passo 2

A fórmula do intervalo de confiança para proporção com nível 1-alpha é
hat p pm zalpha/2,raizhat p(1-hat p)n
onde zalpha/2 é o quantil da normal padrão tal que P(Z>zalpha/2)=alpha/2. Para 99% de confiança, alpha=0,01 e
z0,005approx 2,576

Passo 3

Primeiro calculamos o erro-padrão:
EP = raiz0,255,(1-0,255)42000 = raiz0,255cdot0,74542000 approx 0,00213
A margem de erro é
E = 2,576 times 0,00213 approx 0,00548

Passo 4

O intervalo de confiança fica
l[,0,255 - 0,00548;;0,255 + 0,00548r] = [,0,2495;;0,2605r]
Em porcentagem, isso equivale a aproximadamente 24,95% a 26,05%.

Passo 5

Interpretamos: “Estamos 99% confiantes de que a verdadeira proporção de fumantes na população está entre 24,95% e 26,05%.”

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a proporção de fumantes é aproximadamente [0,2495;0,2605], isto é, de 24,95% a 26,05%.

Exercícios relacionados