Um estudo comparou dois métodos (A e B) para ensinar matemática a alunos do primeiro grau. Após 10 semanas, o desempenho dos alunos foi avaliado em um teste. Teste a hipótese de que o método A resulta num melhor desempenho médio, ao nível alpha=5 %, com base nos resultados da tabela a seguir:
Método Número <br> de alunos Média <br> das notas Desvio padrão <br> das notas
A 10 8.15 1.15
B 8 7.31 1.94

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem dois métodos de ensino de matemática (A e B), aplicados em turmas independentes. Depois de 10 semanas, mediram as notas:
  • Método A: , média , desvio padrão .
  • Método B: , média , desvio padrão .
O enunciado pede para testar, ao nível , se o método A resulta em média superior. Isso é um teste de hipótese para a diferença entre duas médias de amostras independentes com variâncias desconhecidas — vamos usar o teste de Welch. Precisamos:
  1. Montar hipóteses
  2. Calcular estatística
  3. Calcular graus de liberdade aproximados
  4. Comparar com valor crítico e decidir

Passo 2

Hipóteses:
t ;=;bar x1 - bar x2raizs1^2n1 + s2^2n2 (A não é melhor)
bar x1 - bar x2 = 8,15 - 7,31 = 0,84 (A é melhor)
A estatística de teste é
s1^2n1 = 1,15^210 = 1,322510 = 0,13225 , s2^2n2 = 1,94^28 = 3,76368 = 0,47045
Substituindo:
raiz0,13225 + 0,47045 =raiz0,60270approx0,7764
t approx 0,840,7764 approx 1,082
Então

Passo 3

Agora os graus de liberdade via fórmula de Welch:
nu approx l(tfracs1^2n1 + tfracs2^2n2r)^2 (s1^2/n1)^2n1-1 + (s2^2/n2)^2n2-1
Numerador: 0,13225^29 + 0,47045^27 = 0,017499 + 0,221327 approx0,00194 + 0,03162 = 0,03356 .
Denominador:
nu approx 0,36330,03356approx10,83

Passo 4

Como é teste unilateral (queremos ver se é grande), o valor crítico para e é .
Comparando: é bem menor que .

Resposta

Não rejeitamos . Ou seja, não há evidência estatística, a 5% de significância, de que o método A produza média de notas superior ao método B.

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