Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule \mathrm{f}^{\'}(\mathrm{x}) utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções. \frac{7 e^{x}}{2}+\frac{\ln (x)}{9}
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\frac{7 e^{x}}{2}+\frac{\ln(x)}{9}
e pede para calcular \mathrm{f}^{\prime}(x) usando regras de derivação para soma e subtração de funções. Informações importantes que o enunciado fornece e que precisamos ter em mente:
A função é a soma de duas parcelas: uma envolvendo e^{x} e outra envolvendo \ln(x).
Os coeficientes numéricos são \frac{7}{2} e \frac{1}{9}.
A segunda parcela contém \ln(x), então essa parcela (e portanto a função original) só está definida para x>0. Isso também vale para a expressão da derivada.
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
Regra do fator constante: um coeficiente numérico sai da derivada. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x),
onde c é uma constante (número).
Derivadas básicas que vamos precisar:
A derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,. Isso decorre da definição do exponencial; para fins práticos na prova memorize que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
A derivada de \,\ln(x)\, (para x>0) é \,\frac{1}{x}. Isso vem da regra da função inversa aplicada ao exponencial; memorize que \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} para x>0.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Lembre que isso só faz sentido para x>0, pela definição de \ln(x).
Passo 6
Some as derivadas das duas parcelas para obter a derivada final:
f'(x)=\frac{7}{2}e^{x}+\frac{1}{9x},\qquad x>0.
Pequena checagem mental: cada termo tem a forma esperada — o primeiro é proporcional a e^{x} e o segundo é proporcional a 1/x; os coeficientes numéricos apareceram corretamente.
Passo 7
Exemplo rápido para praticar (faça na prova se der tempo): se tivéssemos g(x)=\frac{3e^{x}}{4}+\frac{\ln(x)}{5}, então
g'(x)=\frac{3}{4}e^{x}+\frac{1}{5x}.
Mesmo padrão: fator constante vezes a derivada da função interna.