Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule \mathrm{f}^{\'}(\mathrm{x}) utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
\frac{7 e^{x}}{2}+\frac{\ln (x)}{9}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{7 e^{x}}{2}+\frac{\ln(x)}{9}
e pede para calcular \mathrm{f}^{\prime}(x) usando regras de derivação para soma e subtração de funções. Informações importantes que o enunciado fornece e que precisamos ter em mente:
  • A função é a soma de duas parcelas: uma envolvendo e^{x} e outra envolvendo \ln(x).
  • Os coeficientes numéricos são \frac{7}{2} e \frac{1}{9}.
  • A segunda parcela contém \ln(x), então essa parcela (e portanto a função original) só está definida para x>0. Isso também vale para a expressão da derivada.

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que podemos derivar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
  • Regra do fator constante: um coeficiente numérico sai da derivada. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot u(x)\bigr)=c\cdot u'(x),
onde c é uma constante (número).
  • Derivadas básicas que vamos precisar:
    • A derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\,. Isso decorre da definição do exponencial; para fins práticos na prova memorize que \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    • A derivada de \,\ln(x)\, (para x>0) é \,\frac{1}{x}. Isso vem da regra da função inversa aplicada ao exponencial; memorize que \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x} para x>0.
      Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Separe as parcelas e aplique a regra da soma:
f(x)=\underbrace{\frac{7}{2}e^{x}}_{\text{parcela A}}+\underbrace{\frac{1}{9}\ln(x)}_{\text{parcela B}}.
Pela regra da soma,
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{7}{2}e^{x}\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}\ln(x)\right).

Passo 4

Derivando a parcela A usando a regra do fator constante e a derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}\left(\frac{7}{2}e^{x}\right)=\frac{7}{2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=\frac{7}{2}\cdot e^{x}.
Explicação curta: tirei o número \frac{7}{2} para fora da derivada e derivatei e^{x}, que volta a ser e^{x}.

Passo 5

Derivando a parcela B usando a regra do fator constante e a derivada de \ln(x):
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{9}\ln(x)\right)=\frac{1}{9}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{9x}.
Lembre que isso só faz sentido para x>0, pela definição de \ln(x).

Passo 6

Some as derivadas das duas parcelas para obter a derivada final:
f'(x)=\frac{7}{2}e^{x}+\frac{1}{9x},\qquad x>0.
Pequena checagem mental: cada termo tem a forma esperada — o primeiro é proporcional a e^{x} e o segundo é proporcional a 1/x; os coeficientes numéricos apareceram corretamente.

Passo 7

Exemplo rápido para praticar (faça na prova se der tempo): se tivéssemos g(x)=\frac{3e^{x}}{4}+\frac{\ln(x)}{5}, então
g'(x)=\frac{3}{4}e^{x}+\frac{1}{5x}.
Mesmo padrão: fator constante vezes a derivada da função interna.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{2}e^{x}+\frac{1}{9x}

Exercícios relacionados