3-Encontre uma equação da reta tangente à parábola
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à parábola no ponto
.
Informações dadas: a função é e o ponto onde queremos a tangente é
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Conceito importante (devagarinho): a reta tangente a uma curva num ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. A derivada
nos dá a taxa de variação instantânea de
em
, isto é, o coeficiente angular da reta tangente. Formalmente a derivada é o limite
mas na prática usamos regras que derivam desse limite e simplificam o trabalho. As regras que usamos aqui são:
- Regra do poder: a derivada de
é . - A derivada de uma constante multiplicada por
é essa constante. - A derivada da soma é a soma das derivadas.
Vamos aplicar essas regras à função
.
Passo 3
Derivando termo a termo:
- a derivada de
é pela regra do poder; - a derivada de
é (porque a derivada de é , multiplicada por ); - a derivada de
(constante) é .
Portanto
Passo 4
Calculamos a inclinação da tangente no ponto
:
Logo a reta tangente tem coeficiente angular
.
Passo 5
Usamos a fórmula ponto‑inclinação da reta que passa por
com coeficiente angular
:
Substituindo
e
temos
Desenvolvendo:
Verificação rápida: para
obtemos
, que é o ponto dado, perfeito — e a inclinação é
, igual à derivada no ponto.