3-Encontre uma equação da reta tangente à parábola \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} 2-2 \mathrm{x}+1 no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à parábola no ponto (2,1).
Informações dadas: a função é f(x)=x^{2}-2x+1 e o ponto onde queremos a tangente é (2,1).

Passo 2

Conceito importante (devagarinho): a reta tangente a uma curva num ponto tem inclinação igual à derivada da função nesse ponto. A derivada f'(x) nos dá a taxa de variação instantânea de f em x, isto é, o coeficiente angular da reta tangente. Formalmente a derivada é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas na prática usamos regras que derivam desse limite e simplificam o trabalho. As regras que usamos aqui são:
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • A derivada de uma constante multiplicada por x é essa constante.
  • A derivada da soma é a soma das derivadas.
Vamos aplicar essas regras à função f(x)=x^{2}-2x+1.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • a derivada de x^{2} é 2x pela regra do poder;
  • a derivada de -2x é -2 (porque a derivada de x é 1, multiplicada por -2);
  • a derivada de 1 (constante) é 0.
Portanto
f'(x)=2x-2.

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente no ponto x=2:
f'(2)=2\cdot 2-2=4-2=2.
Logo a reta tangente tem coeficiente angular m=2.

Passo 5

Usamos a fórmula ponto‑inclinação da reta que passa por (x_{0},y_{0}) com coeficiente angular m:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo m=2 e (x_{0},y_{0})=(2,1) temos
y-1=2(x-2).
Desenvolvendo:
y-1=2x-4
y=2x-3.
Verificação rápida: para x=2 obtemos y=2\cdot 2-3=1, que é o ponto dado, perfeito — e a inclinação é 2, igual à derivada no ponto.

Resposta

y=2x-3

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