Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule
utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
A função dada é .
Informações relevantes: e
são constantes;
é a base do logaritmo natural; a operação entre os termos é soma.
Pergunta explícita: calcular a derivada usando regras de derivação para soma e constantes.
A função dada é
Informações relevantes:
Pergunta explícita: calcular a derivada
Passo 2
Regra de derivação para soma e multiplicação por constante (explicação didática):
Se e
são funções diferenciáveis, então a derivada da soma é a soma das derivadas:
Se
Se
é constante e
função diferenciável, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
. Essas regras dizem, na prática, que podemos derivar cada termo separadamente e puxar constantes para fora da derivada.
Passo 3
Derivada de
com
(explicação e demonstração curta):
Observação útil: podemos reescrever usando exponencial natural:
Observação útil: podemos reescrever
onde
é o logaritmo natural de
(uma constante). Agora aplicamos a regra da cadeia: se
então
No nosso caso
, então
. Assim
Interpretação: a derivada de
é ela mesma multiplicada por
.
Passo 4
Derivada de
(explicação didática curta):
A função exponencial natural tem a propriedade especial de que sua derivada é igual a ela mesma:
A função exponencial natural tem a propriedade especial de que sua derivada é igual a ela mesma:
Isso pode ser visto como um caso particular da regra do Passo 3 com
, pois
, então
.
Passo 5
Aplicando as regras ao problema específico:
Usando a linearidade (Passo 2) derivamos termo a termo:
Usando a linearidade (Passo 2) derivamos termo a termo:
Pelo resultado do Passo 3,
Pela regra da constante (Passo 2) e do Passo 4,
Somando os dois termos obtemos a derivada: