Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule \mathrm{f}^{\'}(\mathrm{x}) utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
f(x)=7^{x}+8 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}).
A função dada é \;f(x)=7^{x}+8 e^{x}.
Informações relevantes: 7 e 8 são constantes; e é a base do logaritmo natural; a operação entre os termos é soma.
Pergunta explícita: calcular a derivada \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) usando regras de derivação para soma e constantes.

Passo 2

Regra de derivação para soma e multiplicação por constante (explicação didática):
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Se c é constante e u(x) função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot u'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x. Essas regras dizem, na prática, que podemos derivar cada termo separadamente e puxar constantes para fora da derivada.

Passo 3

Derivada de a^{x} com a>0 (explicação e demonstração curta):
Observação útil: podemos reescrever a^{x} usando exponencial natural:
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a (uma constante). Agora aplicamos a regra da cadeia: se g(x)=e^{h(x)} então
\frac{d}{dx}e^{h(x)}=e^{h(x)}\cdot h'(x).
No nosso caso h(x)=x\ln a, então h'(x)=\ln a. Assim
\frac{d}{dx}a^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a.
Interpretação: a derivada de a^{x} é ela mesma multiplicada por \ln a.

Passo 4

Derivada de e^{x} (explicação didática curta):
A função exponencial natural tem a propriedade especial de que sua derivada é igual a ela mesma:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isso pode ser visto como um caso particular da regra do Passo 3 com a=e, pois \ln e=1, então \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\cdot 1=e^{x}.

Passo 5

Aplicando as regras ao problema específico:
Usando a linearidade (Passo 2) derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(7^{x}+8e^{x}\big)=\frac{d}{dx}7^{x}+\frac{d}{dx}\big(8e^{x}\big).
Pelo resultado do Passo 3,
\frac{d}{dx}7^{x}=7^{x}\ln 7.
Pela regra da constante (Passo 2) e do Passo 4,
\frac{d}{dx}\big(8e^{x}\big)=8\cdot\frac{d}{dx}e^{x}=8e^{x}.
Somando os dois termos obtemos a derivada:
f'(x)=7^{x}\ln 7 + 8e^{x}.

Resposta

f'(x)=7^{x}\ln 7 + 8e^{x}

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