Em um estudo de crescimento populacional, a variação de uma população ao longo do tempo pode ser modelada por uma determinada função. Calcule \mathrm{f}^{\'}(\mathrm{x}) utilizando as regras de derivação para soma e subtração de funções.
\frac{3 \operatorname{sex}(x)}{4}+\frac{3 \operatorname{tg}(x)}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3\operatorname{sec}(x)}{4}+\frac{3\tan(x)}{2}
e pede para calcular f'(x) usando as regras de derivação para soma e para múltiplo por constante. Portanto, queremos encontrar a derivada de cada parcela e somá-las.

Passo 2

Relembrando as regras que usaremos (cada fórmula está explicada em seguida):
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x)
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot u'(x)\quad\text{onde \(c\) é constante}é
Agora as derivadas das funções trigonométricas envolvidas:
Derivada de \operatorname{sec}(x). Usamos a identidade \operatorname{sec}(x)=(\cos x)^{-1}. Então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\big((\cos x)^{-1}\big)=-1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Reescrevendo \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec}(x)\tan(x). Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Derivada de \tan(x). Usando \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente,
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2(x).
Portanto
\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso f(x). Primeiro, escrevo claramente que vou derivar termo a termo e puxar constantes para fora:
f'(x)=\frac{3}{4}\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)+\frac{3}{2}\frac{d}{dx}\tan(x).
Agora substituo as derivadas que já obtivemos:
f'(x)=\frac{3}{4}\big(\operatorname{sec}(x)\tan(x)\big)+\frac{3}{2}\big(\operatorname{sec}^2(x)\big).

Passo 4

Podemos deixar a resposta numa forma fatorada se quisermos retirar um fator comum. Por exemplo, fatorando \dfrac{3}{4}\operatorname{sec}(x):
f'(x)=\frac{3}{4}\operatorname{sec}(x)\tan(x)+\frac{3}{2}\operatorname{sec}^2(x)=\frac{3}{4}\operatorname{sec}(x)\big(\tan(x)+2\operatorname{sec}(x)\big).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}\operatorname{sec}(x)\tan(x)+\frac{3}{2}\operatorname{sec}^2(x)

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