Num estudo para descrever o perfil dos pacientes adultos atendidos no ambulatório de um posto de saúde, uma amostra de 70 pacientes adultos foi selecionada ao acaso entre o total de pacientes atendidos no posto durante os últimos três anos, coletando-se dos prontuários desses pacientes dados relativos à idade, à escolaridade e a outros fatores de interesse.
Para a variável idade, observou-se uma média amostral de 36,86 anos com um desvio padrão amostral de 17,79 anos. Para a variável escolaridade, observou-se que 19 pacientes da amostra eram analfabetos.
Forneça uma estimativa pontual, um intervalo de 90 \% de confiança e um intervalo de 95 \% de confiança para a idade média dos adultos atendidos neste ambulatório nos últimos três anos. Interprete e compare os intervalos de confiança.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados da amostra (peguei tudo do enunciado):
  • tamanho da amostra: n=70;
  • média amostral da idade: \bar{x}=36,86 anos;
  • desvio padrão amostral: s=17,79 anos.
    O que o enunciado pede:
  • uma estimativa pontual para a idade média da população de adultos atendidos neste ambulatório nos últimos três anos;
  • um intervalo de confiança de 90\% para essa média;
  • um intervalo de confiança de 95\% para essa média;
  • interpretar e comparar os intervalos de confiança.

Passo 2

Qual é a estimativa pontual e qual fórmula usamos para intervalos de confiança?
  • Estimativa pontual da média populacional é simplesmente a média amostral \bar{x}. Ou seja, a melhor estimativa pontual que temos é \bar{x}=36,86 anos.
  • Para construir um intervalo de confiança para a média quando a variância populacional é desconhecida usamos a fórmula
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (a nossa estimativa pontual);
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, correspondente ao nível de confiança desejado (por exemplo, para 95\% de confiança usamos 1-\alpha/2=0,975);
  • s é o desvio padrão amostral;
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra;
  • o produto \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral entre amostras).

Passo 3

Por que usar t em vez de z?
  • A população tem desvio padrão desconhecido, então o procedimento correto é usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Como a amostra é relativamente grande ( n=70), os valores de t ficam próximos dos valores z da normal padrão, mas usar t é a escolha mais rigorosa.
  • Portanto vamos calcular com t com df=n-1=69.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (a parte \dfrac{s}{\sqrt{n}} da fórmula).
\sqrt{n}=\sqrt{70}\approx 8,366600265,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{17,79}{\sqrt{70}}\approx 2,12533.
Interpretação: em média a média amostral varia cerca de 2,125 anos ao redor da média verdadeira, devido ao erro de amostragem.

Passo 5

Obter os quantis t necessários.
  • Para nível de confiança 90\% temos \alpha=0,10 e precisamos de t_{0,95,\,69}. Uma tabela de t (ou calculadora) dá aproximadamente
t_{0,95,\,69}\approx 1,667.
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e precisamos de t_{0,975,\,69}. A tabela dá aproximadamente
t_{0,975,\,69}\approx 1,995.
(Fica a nota: se usássemos a normal padrão os valores seriam \;z_{0,95}=1,645\; e \;z_{0,975}=1,96\;, bem próximos.)

Passo 6

Calcular as margens de erro e os intervalos numéricos.
  • Primeiro o termo comum já calculado: \dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,12533.
90% de confiança:
\text{margem}_{90}=t_{0,95,69}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 1,667\cdot 2,12533\approx 3,5437.
Intervalo:
\bar{x}\pm \text{margem}_{90} = 36,86\pm 3,5437,
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\text{IC}_{90\%}\approx [36,86-3,5437,\;36,86+3,5437]=[33,3163,\;40,4037].
Arredondando para duas casas decimais:
\text{IC}_{90\%}\approx [33,32,\;40,40]\\ \text{anos}.
95% de confiança:
\text{margem}_{95}=t_{0,975,69}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 1,995\cdot 2,12533\approx 4,2392.
Intervalo:
\bar{x}\pm \text{margem}_{95} = 36,86\pm 4,2392,
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\text{IC}_{95\%}\approx [36,86-4,2392,\;36,86+4,2392]=[32,6208,\;41,0992].
Arredondando para duas casas decimais:
\text{IC}_{95\%}\approx [32,62,\;41,10]\\ \text{anos}.

Passo 7

Interpretação e comparação dos intervalos (de um jeito direto e amigo):
  • A estimativa pontual para a idade média é \bar{x}=36,86 anos.
  • O intervalo de 90\% de confiança [33,32,\;40,40] anos significa: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo de 90\% dessa forma para cada amostra, aproximadamente 90\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não é correto dizer que há 90\% de probabilidade da média estar nesse intervalo — a média é fixa; o que varia é o intervalo amostral.
  • O intervalo de 95\% de confiança [32,62,\;41,10] anos é análogo, mas com maior confiança: cerca de 95\% dos intervalos construídos assim conteriam a verdadeira média.
  • Comparação prática: o IC de 95\% é mais amplo que o de 90\% (vai de 32,62 a 41,10 contra 33,32 a 40,40). Isso mostra o trade-off clássico: mais confiança -> intervalo mais largo -> menor precisão; menos confiança -> intervalo mais curto -> mais preciso, porém com menor garantia de conter o parâmetro verdadeiro.
  • Observações finais sobre validade: estas conclusões assumem que a amostra foi aleatória (o enunciado diz que foi selecionada ao acaso) e que a aproximação pelo t é adequada (a amostra é grande, então o uso do t é seguro mesmo se a população não for perfeitamente normal, graças ao TCL).

Resposta

Estimativa pontual: \bar{x}=36,86 anos.
Intervalo de 90\% de confiança: [33,32,\;40,40] anos.
Intervalo de 95\% de confiança: [32,62,\;41,10] anos.

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