Questão 5. De 1000 casos aleatoriamente selecionados de pacientes com síndrome de Down, 823 sobreviveram aos 30 anos de vida. Construir um intervalo de
de confiança para a taxa de sobrevivência correspondente.
Passo 1
O enunciado dá estes dados e pede isto (já peguei os números no enunciado):
- Número total de casos:
. - Número de sobreviventes aos 30 anos:
. - O que pedem: construir um intervalo de confiança de
para a taxa (proporção) de sobrevivência correspondente.
Passo 2
Vou definir as notações e explicar o que queremos estimar (sem começar a calcular ainda).
- Seja
a taxa verdadeira de sobrevivência na população (é o parâmetro desconhecido que queremos estimar). - Seja
a estimativa amostral da taxa, dada por . Aqui é uma estimativa do . - Um intervalo de confiança de
para é um intervalo construído a partir dos dados de modo que, em longas repetições do procedimento, cerca de desses intervalos conteriam o verdadeiro . No dia da prova, é suficiente saber que vamos calcular um centro ( ) e uma margem de erro baseada na variabilidade de .
Passo 3
Calcular a proporção amostral e checar condições que permitem usar a aproximação normal simples (método básico, comum em provas):
- Calcule
:
- Verificação rápida da condição de aproximação normal (regra prática): verificar se
e são maiores que .
Como ambos são bem maiores que
, a aproximação normal para
é adequada no contexto de prova.
Passo 4
Apresentar a fórmula do erro padrão e explicar cada termo:
- Para proporções, o erro padrão (desvio padrão da estimativa
) é
Explicação das variáveis:
-
é a proporção amostral ( aqui), -
é a proporção de insucessos na amostra ( aqui), -
é o tamanho da amostra ( ), - a raiz quadrada garante que estamos obtendo um desvio padrão (unidade da própria proporção).
Passo 5
Calcular passo a passo o erro padrão numérico (mostrando as contas de forma que dê para acompanhar):
- Primeiro calcule
:
- Divida por
:
- Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
(Na prática de prova é aceitável usar uma calculadora para esta raiz; a decomposição
leva ao mesmo resultado.)
Passo 6
Escolher o quantil da distribuição normal correspondente a
e explicar por quê:
- Para um intervalo de confiança bilateral de nível
usamos o quantil da normal padrão, que é aproximadamente . Isto vem da ideia de que de probabilidade central deixa em cada cauda, e o ponto com área à esquerda tem valor .
Passo 7
Calcular a margem de erro e explicar o que ela representa:
- Margem de erro
é
- Interpretação: aproximadamente
ao redor de .
Passo 8
Construir o intervalo de confiança e apresentar resultado numérico com arredondamento razoável:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Portanto, o intervalo de confiança de
para a taxa de sobrevivência é aproximadamente .
Passo 9
Interpretação prática (como dizer na prova, em linguagem simples e correta):
- Pode-se afirmar: "Com
de confiança, a taxa verdadeira de sobrevivência aos 30 anos está entre e " — isto é, entre e . Isso não significa que há de probabilidade para estar no intervalo dado os dados (essa interpretação é bayesiana), mas que o procedimento utilizado gera intervalos que contêm o verdadeiro em das amostras hipotéticas repetidas.