Questão 5. De 1000 casos aleatoriamente selecionados de pacientes com síndrome de Down, 823 sobreviveram aos 30 anos de vida. Construir um intervalo de 95 \% de confiança para a taxa de sobrevivência correspondente.

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede isto (já peguei os números no enunciado):
  • Número total de casos: n = 1000.
  • Número de sobreviventes aos 30 anos: x = 823.
  • O que pedem: construir um intervalo de confiança de 95\% para a taxa (proporção) de sobrevivência correspondente.

Passo 2

Vou definir as notações e explicar o que queremos estimar (sem começar a calcular ainda).
  • Seja p a taxa verdadeira de sobrevivência na população (é o parâmetro desconhecido que queremos estimar).
  • Seja \hat p a estimativa amostral da taxa, dada por \hat p = \dfrac{x}{n}. Aqui \hat p é uma estimativa do p.
  • Um intervalo de confiança de 95\% para p é um intervalo construído a partir dos dados de modo que, em longas repetições do procedimento, cerca de 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro p. No dia da prova, é suficiente saber que vamos calcular um centro ( \hat p) e uma margem de erro baseada na variabilidade de \hat p.

Passo 3

Calcular a proporção amostral e checar condições que permitem usar a aproximação normal simples (método básico, comum em provas):
  • Calcule \hat p:
\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{823}{1000} = 0,823.
  • Verificação rápida da condição de aproximação normal (regra prática): verificar se n\hat p e n(1-\hat p) são maiores que 5.
n\hat p = 1000 \times 0,823 = 823 > 5,\qquad n(1-\hat p) = 1000 \times 0,177 = 177 > 5.
Como ambos são bem maiores que 5, a aproximação normal para \hat p é adequada no contexto de prova.

Passo 4

Apresentar a fórmula do erro padrão e explicar cada termo:
  • Para proporções, o erro padrão (desvio padrão da estimativa \hat p) é
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicação das variáveis:
  • \hat p é a proporção amostral ( 0,823 aqui),
  • 1-\hat p é a proporção de insucessos na amostra ( 0,177 aqui),
  • n é o tamanho da amostra ( 1000),
  • a raiz quadrada garante que estamos obtendo um desvio padrão (unidade da própria proporção).

Passo 5

Calcular passo a passo o erro padrão numérico (mostrando as contas de forma que dê para acompanhar):
  • Primeiro calcule \hat p(1-\hat p):
\hat p(1-\hat p) = 0,823 \times 0,177 = 0,145671.
  • Divida por n:
\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n} = \dfrac{0,145671}{1000} = 0,000145671.
  • Tire a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{0,000145671}\approx 0,012071.
(Na prática de prova é aceitável usar uma calculadora para esta raiz; a decomposição \sqrt{0,000145671}=\sqrt{1,45671\times10^{-4}}=\sqrt{1,45671}\times10^{-2}\approx1,20696\times10^{-2} leva ao mesmo resultado.)

Passo 6

Escolher o quantil da distribuição normal correspondente a 95\% e explicar por quê:
  • Para um intervalo de confiança bilateral de nível 95\% usamos o quantil z_{0,975} da normal padrão, que é aproximadamente 1,96. Isto vem da ideia de que 95\% de probabilidade central deixa 2,5\% em cada cauda, e o ponto com área 0,975 à esquerda tem valor 1,96.
z_{0,975}\approx 1,96.

Passo 7

Calcular a margem de erro e explicar o que ela representa:
  • Margem de erro E é
E = z_{0,975}\times \text{SE}(\hat p) = 1,96 \times 0,012071 \approx 0,02367.
  • Interpretação: aproximadamente \pm 0,02367 ao redor de \hat p.

Passo 8

Construir o intervalo de confiança e apresentar resultado numérico com arredondamento razoável:
  • Limite inferior:
\hat p - E = 0,823 - 0,02367 = 0,79933\approx 0,799.
  • Limite superior:
\hat p + E = 0,823 + 0,02367 = 0,84667\approx 0,847.
  • Portanto, o intervalo de confiança de 95\% para a taxa de sobrevivência é aproximadamente (0,799,\;0,847).

Passo 9

Interpretação prática (como dizer na prova, em linguagem simples e correta):
  • Pode-se afirmar: "Com 95\% de confiança, a taxa verdadeira de sobrevivência aos 30 anos está entre 0,799 e 0,847" — isto é, entre 79,9\% e 84,7\%. Isso não significa que há 95\% de probabilidade para p estar no intervalo dado os dados (essa interpretação é bayesiana), mas que o procedimento utilizado gera intervalos que contêm o verdadeiro p em 95\% das amostras hipotéticas repetidas.

Resposta

(0,799,\;0,847)

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