Questão 4. Em uma região afetada por um surto epidêmico, observou-se uma amostra de 2500 indivíduos, tendo-se encontrado 625 contaminados. Construa um intervalo de 90 \% de confiança para o percentual de pessoas infectadas nessa região.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=2500 com 625 indivíduos contaminados. Pede-se construir um intervalo de confiança de 90\% para o percentual (proporção) de pessoas infectadas na população.
Informações relevantes:
  • n=2500 (tamanho da amostra).
  • número de casos positivos X=625.
  • nível de confiança 90\% (logo \alpha=0,10).

Passo 2

O que vamos estimar e qual fórmula usar.
Queremos um intervalo de confiança para a proporção verdadeira p da população. A estimativa pontual é a proporção amostral \hat p. Para amostras grandes costuma-se usar o intervalo baseado na aproximação normal (intervalo de Wald):
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},
onde:
  • \hat p é a proporção amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2; para \alpha=0,10 temos 1-\alpha/2=0,95.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo e explicar cada cálculo.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat p.
\hat p=\frac{X}{n}=\frac{625}{2500}=0,25.
Interpretação: a amostra indica que 25\% dos indivíduos estavam contaminados.

Passo 4

Verificar condições para usar a aproximação normal (regra prática).
A aproximação normal é razoável se n\hat p\ge 5 e n(1-\hat p)\ge 5. Aqui:
n\hat p = 2500\cdot 0,25 = 625, \qquad n(1-\hat p)=2500\cdot 0,75 = 1875,
ambos muito maiores que 5. Logo a aproximação normal é adequada.

Passo 5

Obter o valor crítico z_{1-\alpha/2} para um intervalo de 90\%.
Como explicado, \alpha=0,10 e 1-\alpha/2=0,95. O quantil da normal padrão correspondente é
z_{0,95}=1,645.
(Isto vem da tabela da normal padrão ou de conhecimento padrão: para 90\% de confiança usa-se z\approx1,645.)

Passo 6

Calcular o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral). A fórmula do erro padrão é
\text{EP}=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Substituindo os valores:
\text{EP}=\sqrt{\frac{0,25\cdot 0,75}{2500}}=\sqrt{\frac{0,1875}{2500}}=\sqrt{0,000075}=0,008660254\ldots

Passo 7

Calcular a margem de erro multiplicando z_{0,95} pelo erro padrão:
\text{margem}=z_{0,95}\cdot\text{EP}=1,645\cdot 0,008660254\ldots = 0,014247\ldots

Passo 8

Calcular os limites do intervalo de confiança:
\text{limite inferior}=\hat p-\text{margem}=0,25-0,014247\ldots = 0,235753\ldots
\text{limite superior}=\hat p+\text{margem}=0,25+0,014247\ldots = 0,264247\ldots
Convertendo para percentuais (multiplicando por 100\%):
\text{intervalo em porcentagem}\approx 23,5753\%\\ \text{a}\\\ 26,4247\%.
Arredondando comumente para duas casas decimais:
\approx 23,58\%\\ \text{a}\\\ 26,42\%.

Passo 9

Interpretação rápida e dica para a prova.
Este intervalo significa que, com 90\% de confiança, a verdadeira percentagem de pessoas infectadas na região está entre aproximadamente 23,58\% e 26,42\%. Na prova: calcule \hat p, verifique n\hat p e n(1-\hat p), use z adequado (para 90\%, z\approx1,645), calcule o erro padrão e a margem, e some/subtraia para obter os limites — siga exatamente os passos que fiz aqui para não esquecer nada. Você consegue!

Resposta

[23,58\%;\\\ 26,42\%]

Exercícios relacionados