Questão 4. Em uma região afetada por um surto epidêmico, observou-se uma amostra de 2500 indivíduos, tendo-se encontrado 625 contaminados. Construa um intervalo de
de confiança para o percentual de pessoas infectadas nessa região.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de tamanho
com
indivíduos contaminados. Pede-se construir um intervalo de confiança de
para o percentual (proporção) de pessoas infectadas na população.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
-
(tamanho da amostra). - número de casos positivos
. - nível de confiança
(logo ).
Passo 2
O que vamos estimar e qual fórmula usar.
Queremos um intervalo de confiança para a proporção verdadeira da população. A estimativa pontual é a proporção amostral
. Para amostras grandes costuma-se usar o intervalo baseado na aproximação normal (intervalo de Wald):
Queremos um intervalo de confiança para a proporção verdadeira
onde:
-
é a proporção amostral; -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; para temos .
Vou aplicar essa fórmula passo a passo e explicar cada cálculo.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
.
Interpretação: a amostra indica que
dos indivíduos estavam contaminados.
Passo 4
Verificar condições para usar a aproximação normal (regra prática).
A aproximação normal é razoável se e
. Aqui:
A aproximação normal é razoável se
ambos muito maiores que
. Logo a aproximação normal é adequada.
Passo 5
Obter o valor crítico
para um intervalo de
.
Como explicado, e
. O quantil da normal padrão correspondente é
Como explicado,
(Isto vem da tabela da normal padrão ou de conhecimento padrão: para
de confiança usa-se
.)
Passo 6
Calcular o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral). A fórmula do erro padrão é
Substituindo os valores:
Passo 7
Calcular a margem de erro multiplicando
pelo erro padrão:
Passo 8
Calcular os limites do intervalo de confiança:
Convertendo para percentuais (multiplicando por
):
Arredondando comumente para duas casas decimais:
Passo 9
Interpretação rápida e dica para a prova.
Este intervalo significa que, com de confiança, a verdadeira percentagem de pessoas infectadas na região está entre aproximadamente
e
. Na prova: calcule
, verifique
e
, use
adequado (para
,
), calcule o erro padrão e a margem, e some/subtraia para obter os limites — siga exatamente os passos que fiz aqui para não esquecer nada. Você consegue!
Este intervalo significa que, com