Questão 2 Calcule a integral por substituição:
ponto
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição indicada
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Integral definida com limites em
: até . - Integrando:
. - Substituição sugerida:
.
O objetivo é aplicar a substituição corretamente, mudar variáveis e limites, integrar eme obter o valor numérico final.
Passo 2
Explicando a ideia da substituição (aula rápida e prática): quando escolhemos
, precisamos relacionar
com
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isto significa que sempre que aparecer o fator
na integral podemos trocá-lo por
. Esse é o ponto central da técnica: transformar a integral em uma em
mais simples.
Passo 3
Reescrevendo o integrando de forma a mostrar o fator
:
Agora aplicamos a substituição
e
. Assim,
Portanto o integrando vira um polinômio em
:
Passo 4
Mudar os limites de integração para a variável
. Como
:
- quando
, ; - quando
, .
Logo a integral emé
Passo 5
Integrar termo a termo (a integral de um polinômio é feita aumentando o expoente e dividindo pelo novo expoente):
-
, -
.
Assim uma primitiva é
Agora avaliamos nos limites
e
:
Fazendo a soma com denominador comum
:
Passo 6
Verificação rápida (checagem didática): derivando
obtemos
, que é exatamente o integrando em
. Os limites foram trocados corretamente. Tudo bate, resultado confirmado.