Questão 2 Calcule a integral por substituição:
(1 \quad ponto ) \quad I_{a}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\operatorname{sen}^{2} \theta \cos \theta+2 \operatorname{sen}^{3} \theta \cos \theta\right) d \theta \quad(u=\operatorname{sen} \theta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I_{a}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(\operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta+2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta\big)\,d\theta
usando a substituição indicada \,u=\operatorname{sen}\theta.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Integral definida com limites em \theta: \theta=0 até \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Integrando: \operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta+2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta.
  • Substituição sugerida: u=\operatorname{sen}\theta.
    O objetivo é aplicar a substituição corretamente, mudar variáveis e limites, integrar em u e obter o valor numérico final.

Passo 2

Explicando a ideia da substituição (aula rápida e prática): quando escolhemos u=\operatorname{sen}\theta, precisamos relacionar du com d\theta. Derivando ambos os lados em relação a \theta obtemos
du=\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\big)\,d\theta=\cos\theta\,d\theta.
Isto significa que sempre que aparecer o fator \cos\theta\,d\theta na integral podemos trocá-lo por du. Esse é o ponto central da técnica: transformar a integral em uma em u mais simples.

Passo 3

Reescrevendo o integrando de forma a mostrar o fator \cos\theta\,d\theta:
\operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta+2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta =\cos\theta\big(\operatorname{sen}^{2}\theta+2\operatorname{sen}^{3}\theta\big).
Agora aplicamos a substituição \,u=\operatorname{sen}\theta e \,du=\cos\theta\,d\theta. Assim,
\operatorname{sen}^{2}\theta=\,u^{2},\qquad \operatorname{sen}^{3}\theta=\,u^{3},\qquad \cos\theta\,d\theta=du.
Portanto o integrando vira um polinômio em u:
\big(\operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta+2\operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta\big)\,d\theta =(u^{2}+2u^{3})\,du.

Passo 4

Mudar os limites de integração para a variável u. Como u=\operatorname{sen}\theta:
  • quando \theta=0, u=\operatorname{sen}0=0;
  • quando \theta=\tfrac{\pi}{2}, u=\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1.
    Logo a integral em u é
I_{a}=\int_{0}^{1}\big(u^{2}+2u^{3}\big)\,du.

Passo 5

Integrar termo a termo (a integral de um polinômio é feita aumentando o expoente e dividindo pelo novo expoente):
  • \displaystyle \int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3},
  • \displaystyle \int 2u^{3}\,du=2\cdot\frac{u^{4}}{4}=\frac{u^{4}}{2}.
Assim uma primitiva é
F(u)=\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{4}}{2}.
Agora avaliamos nos limites 0 e 1:
I_{a}=F(1)-F(0)=\left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{4}}{2}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{4}}{2}\right) =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.
Fazendo a soma com denominador comum 6:
\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Verificação rápida (checagem didática): derivando F(u)=\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{4}}{2} obtemos F'(u)=u^{2}+2u^{3}, que é exatamente o integrando em u. Os limites foram trocados corretamente. Tudo bate, resultado confirmado.

Resposta

\dfrac{5}{6}

Exercícios relacionados