Num lote de 600 peças há 20 defeituosas. Fazem-se 50 extrações sem reposição. Calcule a probabilidade de obter
(a) três peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Nota: Em ambas as respostas, deve calcular a probabilidade exata e a probabilidade aproximada usando a distribuição de Poisson.
(a) três peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Nota: Em ambas as respostas, deve calcular a probabilidade exata e a probabilidade aproximada usando a distribuição de Poisson.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote com 600 peças, das quais 20 são defeituosas. Vamos fazer 50 extrações sem reposição e calcular as probabilidades de obter:
(a) exatamente 3 peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidades hipergeométricas para o cálculo exato e da distribuição de Poisson para a aproximação.
(a) exatamente 3 peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidades hipergeométricas para o cálculo exato e da distribuição de Poisson para a aproximação.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): calcular a probabilidade de obter exatamente 3 peças defeituosas em 50 extrações. Como estamos sem reposição, a situação é descrita pela distribuição hipergeométrica.
Passo 3
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
onde:
- $ N = 600 $ (total de peças)
- $ D = 20 $ (peças defeituosas)
- $ n = 50 $ (extrações)
- $ k = 3 $ (peças defeituosas que queremos)
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- $ \dbinom{20}{3} $: número de maneiras de escolher 3 defeituosas de 20.
- $ \dbinom{580}{47} $: número de maneiras de escolher 47 boas de 580.
- $ \dbinom{600}{50} $: número total de maneiras de escolher 50 peças de 600.
Passo 5
Calculando:
Para simplificar, usaremos uma calculadora científica ou software para obter esses valores.
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Isso nos dará a probabilidade exata de obter exatamente 3 peças defeituosas.
Passo 7
Para a aproximação usando a distribuição de Poisson, precisamos verificar se podemos aplicar. A distribuição de Poisson é adequada quando a taxa de sucesso é baixa e o número de tentativas é grande, o que se aplica aqui.
Passo 8
A média ($ \lambda $) para a distribuição de Poisson é:
Passo 9
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Para $ k = 3 $:
Passo 10
Calculando:
Isso nos dá a probabilidade aproximada de obter exatamente 3 peças defeituosas usando Poisson.
Passo 11
Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de obter menos de 3 peças defeituosas em 50 extrações. Isso significa calcular $ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $.
Passo 12
Primeiro, vamos calcular a probabilidade exata usando a distribuição hipergeométrica para cada caso $ k = 0, 1, 2 $.
Passo 13
Usamos a mesma fórmula:
para $ k = 0, 1, 2 $.
Passo 14
Calculando para cada $ k $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 15
Somamos essas probabilidades para obter $ P(X < 3) $:
Isso nos dá a probabilidade exata.
Passo 16
Para a aproximação com Poisson, usamos a mesma média $ \lambda \approx 1.\overline{6} $.
Passo 17
Calculamos:
usando a distribuição de Poisson:
Passo 18
Calculando cada termo:
Passo 19
Somando:
Então, a probabilidade aproximada usando Poisson é de aproximadamente 76,56%.
Passo 20
Portanto, temos a probabilidade exata somada dos três casos e a aproximação usando Poisson.
Resposta
(b) A probabilidade exata de obter menos de 3 peças defeituosas é $ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $, e a probabilidade aproximada usando a distribuição de Poisson é cerca de 76,56%.