Num lote de 600 peças há 20 defeituosas. Fazem-se 50 extrações sem reposição. Calcule a probabilidade de obter
(a) três peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Nota: Em ambas as respostas, deve calcular a probabilidade exata e a probabilidade aproximada usando a distribuição de Poisson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote com 600 peças, das quais 20 são defeituosas. Vamos fazer 50 extrações sem reposição e calcular as probabilidades de obter:
(a) exatamente 3 peças defeituosas
(b) menos de 3 peças defeituosas.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidades hipergeométricas para o cálculo exato e da distribuição de Poisson para a aproximação.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): calcular a probabilidade de obter exatamente 3 peças defeituosas em 50 extrações. Como estamos sem reposição, a situação é descrita pela distribuição hipergeométrica.

Passo 3

A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomDk dbinomN - Dn - kdbinomNn
onde:
  • $ N = 600 $ (total de peças)
  • $ D = 20 $ (peças defeituosas)
  • $ n = 50 $ (extrações)
  • $ k = 3 $ (peças defeituosas que queremos)

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • $ \dbinom{20}{3} $: número de maneiras de escolher 3 defeituosas de 20.
  • $ \dbinom{580}{47} $: número de maneiras de escolher 47 boas de 580.
  • $ \dbinom{600}{50} $: número total de maneiras de escolher 50 peças de 600.

Passo 5

Calculando:
dbinom203 = 20!3!(20-3)! = 1140
dbinom58047 = uma conta grande, >=ralmente calculada com calculadora
dbinom60050 = também uma conta grande é
Para simplificar, usaremos uma calculadora científica ou software para obter esses valores.

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
P(X = 3) = 1140 times dbinom58047dbinom60050
Isso nos dará a probabilidade exata de obter exatamente 3 peças defeituosas.

Passo 7

Para a aproximação usando a distribuição de Poisson, precisamos verificar se podemos aplicar. A distribuição de Poisson é adequada quando a taxa de sucesso é baixa e o número de tentativas é grande, o que se aplica aqui.

Passo 8

A média ($ \lambda $) para a distribuição de Poisson é:
lambda

Passo 9

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Para $ k = 3 $:
k = 3

Passo 10

Calculando:
P(X = 3) approx 4.6296 times 0.18896 approx 0.87376 approx 0.1456
Isso nos dá a probabilidade aproximada de obter exatamente 3 peças defeituosas usando Poisson.

Passo 11

Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de obter menos de 3 peças defeituosas em 50 extrações. Isso significa calcular $ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $.

Passo 12

Primeiro, vamos calcular a probabilidade exata usando a distribuição hipergeométrica para cada caso $ k = 0, 1, 2 $.

Passo 13

Usamos a mesma fórmula:
P(X = k) = dbinom20k dbinom58050 - kdbinom60050
para $ k = 0, 1, 2 $.

Passo 14

Calculando para cada $ k $:
  • Para $ k = 0 $:
k
  • Para $ k = 1 $:
k = 0
  • Para $ k = 2 $:
P(X = 0) = dbinom200 dbinom58050dbinom60050

Passo 15

Somamos essas probabilidades para obter $ P(X < 3) $:
P(X < 3)
Isso nos dá a probabilidade exata.

Passo 16

Para a aproximação com Poisson, usamos a mesma média $ \lambda \approx 1.\overline{6} $.

Passo 17

Calculamos:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
usando a distribuição de Poisson:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!

Passo 18

Calculando cada termo:
P(X = 0) = 16^0 e^-160! = e^-16 approx 0.1889
P(X = 1) = 16^1 e^-161! approx 0.3143
P(X = 2) = 16^2 e^-162! approx 0.2624

Passo 19

Somando:
P(X < 3) approx 0.1889 + 0.3143 + 0.2624 = 0.7656
Então, a probabilidade aproximada usando Poisson é de aproximadamente 76,56%.

Passo 20

Portanto, temos a probabilidade exata somada dos três casos e a aproximação usando Poisson.

Resposta

(b) A probabilidade exata de obter menos de 3 peças defeituosas é $ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $, e a probabilidade aproximada usando a distribuição de Poisson é cerca de 76,56%.

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