Um estudo foi conduzido para investigar o prognóstico a longo prazo de crianças que sofreram um episódio agudo de meningite bacteriana (inflamação das membranas que envolvem o cérebro e a medula espinhal). Abaixo estão listados os tempos para o ataque apoplético de 13 crianças que tomaram parte no estudo. Em meses, as medidas foram:
lllllllllllll 0,10 & 0,25 & 0,50 & 4 & 12 & 12 & 24 & 24 & 31 & 36 & 42 & 55 & 96
(a) Obtenha as seguintes medidas resumo: média, mediana, moda, amplitude, intervalo interquartil e desvio padrão.
(b) Mostre que a soma dos desvios sumi=1^13(xi-barx) é igual a zero.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos, em meses, até o ataque apoplético de 13 crianças após meningite bacteriana. Queremos calcular medidas resumo de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (amplitude, intervalo interquartil e desvio padrão), e depois mostrar que
sumi=1^13l(xi-bar xr)=0
Para isso usaremos as fórmulas clássicas de estatística descritiva:
– Média: bar x = 1nsumi=1^n xi.
– Mediana: valor central em dados ordenados.
– Moda: valor(es) mais frequente(s).
– Amplitude: max xi-min xi.
– Quartis: mediana das metades dos dados.
– Desvio padrão amostral:
s = raiz1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2

Passo 2

Ordenando os dados:
0,10,;0,25,;0,50,;4,;12,;12,;24,;24,;31,;36,;42,;55,;96
Somando todos:
sumi=1^13xi =0,10+0,25+0,50+4+12+12+24+24+31+36+42+55+96 =336,85
Logo a média é
bar x = 336,8513approx25,91 meses

Passo 3

Como n=13 é ímpar, a mediana é o 7.º valor na lista ordenada. O 7.º valor é 24.
Portanto
mediana=24

Passo 4

Verificando frequência: 12 e 24 aparecem cada um duas vezes, mais do que quaisquer outros valores.
Logo há duas modas:
moda = 12 e 24

Passo 5

A amplitude é
max xi - min xi = 96 - 0,10 = 95,90

Passo 6

Para os quartis, dividimos os dados em metade abaixo da mediana (6 valores) e acima (6 valores).
Metade inferior:
0,10,;0,25,;0,50,;4,;12,;12
O primeiro quartil Q1 é a mediana desses 6 valores, ou seja a média do 3.º e 4.º:
Q1 = 0,50+42 = 2,25
Metade superior:
24,;31,;36,;42,;55,;96
O terceiro quartil Q3 é a média do 3.º e 4.º dessa metade:
Q3 = 36+422 = 39
Assim o intervalo interquartil é
IQR = Q3 - Q1 = 39 - 2,25 = 36,75

Passo 7

Calculamos agora o desvio padrão amostral. Primeiro montamos (xi-bar x)^2 para cada xi e somamos, obtendo aproximadamente
sumi=1^13(xi-bar x)^2 approx 8989,6
A variância amostral é
s^2 = 113-1sumi=1^13(xi-bar x)^2 = 8989,612approx749,13,
e o desvio padrão vale
s = raiz749,13approx27,37

Passo 8

Para mostrar que sum(xi-bar x)=0, usamos
sumi=1^13(xi-bar x) =sumi=1^13xi ;-;sumi=1^13bar x =sumi=1^13xi ;-;13,bar x
Mas por definição bar x=(1/13)sum xi, então 13,bar x=sum xi, o que faz a diferença ser zero.

Resposta

Média bar xapprox25,91
Mediana =24
Moda =12 e 24
Amplitude =95,90
Intervalo interquartil =36,75
Desvio padrão amostral sapprox27,37
E de fato sumi=1^13(xi-bar x)=0.

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