Um estudo indica que daqui a x meses a população de certa cidade estará crescendo à taxa de P(x)=5+3 raiz[3]x^2 pessoas por mês. De quanto a população aumentará nos próximos 8 meses?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de crescimento da população, em pessoas por mês, é dada por P(x)=5+3√[3]{x²}, e pede quanto a população aumenta nos próximos 8 meses. O conteúdo aqui é cálculo de integral definida: para achar a variação total de população, integramos P(x) de x=0 a x=8.

Passo 2

Escrevemos a variação total como a integral definida da taxa:
De

Passo 3

Separamos a integral em duas partes e usamos as regras básicas:
– Para constante: integral0^8 5,dx = 5x|0^8 = 5cdot8 = 40
– Para potência: integral x^2/3dx = x^5/35/3 = 35x^5/3 Então
3integral0^8x^2/3dx = 3cdot35x^5/3|0^8 = 95x^5/3|0^8

Passo 4

Calculamos x^5/3 em x=8: temos 8^5/3=(raiz[3]8)^5=2^5=32 Assim
95cdot32 = 2885 = 57,6 Somando as duas partes:
40 + 57,6 = 97,6

Resposta

A população aumentará 4885 pessoas, isto é, aproximadamente 97,6 pessoas.

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