(Vídeo 4) Fatore os polinômios:
2 x^4+x^3+3 x^2+3 x-9

Passo 1

O exercício pede para fatorar o polinômio 2x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 9. Esse conteúdo é fatoração de polinômios e vamos precisar do Teorema da Raiz Racional, Divisão Sintética e Agrupamento de Termos.

Passo 2

Pelo Teorema da Raiz Racional, as possíveis raízes são da forma pmtfracdc, onde d divide o termo independente ( -9) e c divide o coeficiente líder ( 2). Testando x=1:
f(1)=2cdot1^4+1^3+3cdot1^2+3cdot1-9=2+1+3+3-9=0,
logo x=1 é raiz e x-1 é fator.

Passo 3

Para extrair o fator x-1, fazemos Divisão Sintética com coeficientes 2,1,3,3,-9 e raiz 1:
  • A linha de cifragem gera novos coeficientes: 2,3,6,9 e resto 0.
  • A divisão mostra que
2x^4 + x^3 + 3x^2 + 3x - 9 = (x-1)(2x^3 + 3x^2 + 6x + 9)

Passo 4

Agora fatoramos o cúbico por agrupamento:
2x^3 + 3x^2 + 6x + 9 = (2x^3 + 3x^2) + (6x + 9) = x^2(2x+3) + 3(2x+3) = (x^2+3)(2x+3)

Passo 5

Portanto, reunindo tudo, a fatoração completa é o produto dos fatores obtidos.

Resposta

(x-1)(2x+3)(x^2+3)

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