Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x) = (e^x^2 + 4)^raizx. O conteúdo principal aqui é a derivação de potências com base variável e expoente variável, então vamos usar a técnica de diferenciação logarítmica, além das regras da cadeia e do produto.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos logaritmo em ambos os lados para facilitar:
ln y = raizx ;lnl(e^x^2 + 4r)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, usamos que ddx[ln y] = y'y. No direito, aplicamos a regra do produto entre raizx e ln(e^x^2+4):
  • Derivada de raizx = x^1/2 é 12raizx.
  • Derivada de ln(e^x^2+4) é 1e^x^2+4cdot 2x e^x^2 = 2x e^x^2e^x^2+4
    Portanto,
y'y = 12raizx,lnl(e^x^2+4r) + raizx,2x e^x^2e^x^2+4

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y = (e^x^2+4)^raizx para achar y':

Resposta

f'(x) = (e^x^2+4)^raizx(lnl(e^x^2+4r)2raizx + 2xraizx,e^x^2e^x^2+4)

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