O teste de conhecimentos gerais chamado Graduate Record Examination (GRE) tem componentes que medem o raciocínio verbal e o raciocínio quantitativo. O exame verbal e o exame quantitativo têm cada um uma pontuação mínima de 200 e máxima de 800. Nos últimos anos, a pontuação total nos dois exames teve aproximadamente uma distribuição normal com uma média de cerca de 1050 e desvio padrão de cerca de 200.
Qual a probabilidade de obter pontuação total
(i) abaixo de 1200 e
(ii) acima de 1200?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a distribuição normal aplicado ao teste GRE. O problema fala que a pontuação total no GRE, que combina as partes verbal e quantitativa, segue uma distribuição normal com média de 1050 e desvio padrão de 200. A gente precisa descobrir a probabilidade de alguém tirar:
(i) uma pontuação total abaixo de 1200
(ii) uma pontuação total acima de 1200
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição normal e a padronização para encontrar as probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição normal. É aquela curva em forma de sino que é simétrica em torno da média. Na distribuição normal, a maioria dos valores está próximos da média, e conforme a gente se afasta, os valores se tornam menos prováveis. A média é o pico da curva, e o desvio padrão nos mostra o quão “espalhados” os dados estão.
Aqui, a média ( mu) é 1050 e o desvio padrão ( sigma) é 200. A distribuição é X sim N(1050, 200^2).

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de tirar uma pontuação específica, usamos a padronização, que converte nosso valor X em um valor Z na distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1).
A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Vamos aplicar isso para X = 1200:
Z = 1200 - 1050200 = 150200 = 0,75

Passo 4

Agora que temos o valor de Z = 0,75, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente.
A probabilidade de Z ser menor que 0,75 ( P(Z < 0,75)) nos dá a probabilidade de tirar uma pontuação abaixo de 1200.
Usando a tabela, P(Z < 0,75) approx 0,7734 ou 77,34%.
Para a segunda parte, queremos a probabilidade de tirar acima de 1200, ou seja, P(Z > 0,75). Como a distribuição normal é simétrica, isso é:
P(Z > 0,75) = 1 - P(Z < 0,75) = 1 - 0,7734 = 0,2266
Então, há aproximadamente 22,66% de chance de tirar uma pontuação acima de 1200.

Resposta

(i) A probabilidade de obter uma pontuação total abaixo de 1200 é de 77,34%.
(ii) A probabilidade de obter uma pontuação total acima de 1200 é de 22,66%.

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